基于运动学原理的机器设计

 
精 确 约 束
——基于运动学原理的机器设计 
 
内 容 简 介
 
本书是美国机械工程师学会（ASME）和美国精密工程学会（ASPE）重点推介的（精
密）机械创新设计系列丛书之一。全书从运动学基本概念出发，通过探索蕴含在已广泛用于
机械装置及精密仪器设计实践多年的运动学原理， 提出了一种简单实用的约束线图分析法用
于新装置的发明。该方法的优点在于可将机械联接的约束及自由度用一组空间线图来表示，
以实现可视化、图谱化的分析及概念设计。事实上，无论是精密仪器、办公用品还是汽车、
飞机、空间站等，任何机械装置在概念设计阶段都可以采用这种图谱法。本书提供了丰富的
设计实例，以便于读者迅速了解机械的工作原理、提高机械创新的技能、以及驾驭复杂机械
分析和设计的能力。
本书可作为高等院校机械设计、精密机械、精密仪器、工业设计等专业学习（精密）机
械设计的基础教材，亦可作为其他机电结合专业学习机械设计基础的参考教材，尤其可供有
关工程设计及技术人员自学使用。
  第 1章  物体间的二维联接
 
本章开始我们来探索一下物体间机械联接的本质问题。在自由状态下，刚体有 6 个独立
的运动或位置上的自由度：3 个移动自由度和 3个转动自由度。当我们在设计一台机器零件
间的机械联接时，必须考虑到所有的 6 个自由度。如果能够深谙此道，将会帮助我们有效地
设计出有着良好性能和低成本的机器。
为此，我们将从最基本的原理开始学习，即从平面二维联接开始，这时只需要考虑 3
个自由度即可。同时，也会使用一些简单的模型，正如“一幅图片等价于一千个单词”，一
个模型等价于一千幅图片”所言。鼓励读者学习过程中尝试自行搭建如文中描述的各种简单
模型。
 
 
1.1    自由度
我们知道，三维空间中的自由物体具有 6 个独立的自由度。然而，在平面二维空间中，
一个物体最多只有 3 个自由度：两个移动（自由度）和一个转动（自由度） 。作为一个二维
的例子（如图 1-1 所示） ，我们不妨考虑将一个纸板（例如一沓纸的背面）平放在一个平面
上（例如桌子的上表面） 。假设纸板始终保持与桌面接触，对于桌子而言，它只有 3 个独立
的自由度：
（1）左右移动；
（2）前后移动；
（3）绕与桌面垂直轴的转动。
本书中，我们将用符号 T 表示移动自由度，符号 R 表示转动自由度。
R
T
T
 
图 1-1
 
 
1.2   坐标轴
通常，用由一组坐标轴表示的参考坐标系来表示上述自由度更为方便。在三维空间，我
们通常使用传统的直角坐标系 （又称笛卡尔坐标系） ， 在这里， X、 Y 和 Z轴之间相互正交 （图
听之不如见之，见之不如亲历之 1-2） 。在前面二维的例子中，我们命名“左右方向”的移动自由度（平行于 X 轴）为“X 自
由度” 。 “前后方向”的移动自由度（平行于 Y轴）为“Y 自由度” 。转动自由度称为 Z  ，因
为该转动轴线与 Z轴平行。
Z
X
Y
 
图 1-2
 
 
1.3   约束
当在某一物体与参考物体之间建立起某种机械联接，并且造成了该物体的自由度数目
（相对于参考物体）减少，我们就称该物体被约束了。
这里，施加给某个物体上的约束和其减少的自由度之间是一一对应的。例如，一个平面
二维空间中的物体，在自由状态下有 3 个自由度，如果对该物体施加了单一约束，则结果就
导致该物体只剩余了 2个自由度。类似的，该二维空间中受到 2 个约束作用的物体则只剩余
1 个自由度；受到完全 3个约束的作用则会导致该物体的自由度为 0。
让我们再回到前面二维的例子中——桌面上的纸板。假设我们希望约束掉 X 方向的移
动自由度，则可以单独在 X 方向增加 1 个约束，具体如图 1-3 所示。
Y
Z 
Z
X
Y
 
图 1-3
 
这里，我们不妨建立这样一个模型（图 1-3 所示） ：用两个图钉将一个由纸板做成的连
杆与 2D物体（纸板）相连，连杆的一端连在纸板上，另一端则与工作台相连。这样，我们
就创建了对物体的一个约束。 连杆轴线 （联接两图钉点之间的直线） 则定义了约束线的位置。
约束效果如下：
物体上沿着约束线上的所有点都只能在垂直约束线的方向上移动，而不能沿着它移动。 由于连杆所在约束线的方向与 X 轴平行，从而约束掉了物体沿 X 方向的自由度。这里
被称为“X 约束” 。现在，如果我们再来检查一下该物体的运动，可以发现物体在 X 方向的
确不能再发生移动，但在 Z  和 Y 方向上仍然有自由度（小范围的运动） 。
注意到该物体在 Y 方向并没有很大或无限的关节活动范围。 但在如图 1-3所示位置的瞬
时，物体在“Y”方向是可以自由移动的。类似的，假设要求我们去测量一个从身边驶过的
加速行驶的汽车速度。会发现，当车恰好经过的时候速度为 25 英里/小时。早一点儿时，汽
车的速度小于 25 英里/小时。当它经过之后，它的速度大于 25 英里/小时。25 英里/小时是
我们所关注时刻的瞬时速度。相似的，我们说如图 1-3 所示的模型中在所示位置瞬时，存在
有 Z  和 Y 两个自由度。
现在我们再来考察一些具有与连杆同样功能的其他约束装置。
图 1-4 所示为和一物体相连的细杆联接。正是基于这样的约束装置，细杆的轴线可以确
定一条约束线。这一细杆联接模型可以通过用热熔胶将一个直径 1/8 英寸的木棍联接在其两
端实现。它的一端联接在物体上，另一端联接在工作台或工作台面上。热熔胶与“橡胶”的
特性有些相当——允许在铰链处有小角度的转动， 同时在沿着约束线方向能够提供刚性约束。 
Y
Z 
Z
X
Y
 
图 1-4
 
另外一种约束装置是如图 1-5 所示的简单点接触模型。 这表明用反力抵着与桌面相连的
短柱从而保持物体与其接触。该反力只有在具有一定的幅值情况下才能保证在任何 Y 和 z

偏移情况下， 以及无论发生任何可能的随机载荷情况下， 物体和短柱之间都能保持接触状态。
对于这一装置，约束线是指经过接触点与接触面相垂直的直线。 Z 
Z
X
Y
 
图 1-5
 
我们发现：不管选择哪种约束装置——连杆、细杆或者点接触——物体所剩余的自由度
总是相同的。物体会有 1 个转动自由度（R） ，它与约束线相交且和二维物体所在的平面相
垂直；以及 1 个移动自由度（T） ，它与约束线垂直并且在二维物体平面内。这 2 个自由度
又是相互独立的。也就是说：物体可以围绕沿着约束线的任何给定点转动（在一个微小转角
范围内） ，该点还可以平移（在一个微小偏移范围内） 。任何一个运动都可以和其他运动同时
或不同时发生。因为这两个运动是相互独立的，因此说该物体具有 2个自由度。
在考察完上述三种装置（连杆、细杆或者点接触）的约束性能后，我们可以推断，他们
在功能上是完全等效的。 因为每种装置都可为物体提供同类型的单一约束。 在小位移条件下，
不管所采用的约束装置如何，物体的剩余自由度总是相同的。
换句话讲，当我们考虑物体自由度的时候，具体使用哪种约束装置并不重要，重要的是
类似的约束装置是否使用以及在何种场合下使用。这里，用如图 1-6 的符号表示约束。该模
型可以想象为端部铰链联接的一根细杆。黑斜体的大写字母 C 用来表示约束。
C
 
图 1-6
 
 
 
1.4   沿一给定直线约束的功能等效性
假设给如图 1-3 所示的连杆 （约束） 施加一个沿着原约束线的反向约束， 如图 1-7 所示，将会有什么效果？
 
图 1-7
 
或者假设连杆更长些并且跨过物体和另一端相连，如图 1-8所示，但仍然沿着同一约束
线的方向。这时，连杆的长度、它与物体相连的位置，或者从哪个方位沿着给定约束线方向
与物体相连是否对约束效果有影响呢？对于小位移而言，答案是否定的，即没有影响。物体
剩余的 2 个自由度对于沿着给定约束线所施加的任何约束都是不变的。由此可以推断：
沿着给定约束线方向的约束从功能上讲与任何其他沿着同样约束线方向的约束， 在小位
移情况下是等效的。
 
图 1-8
 
 
1.5   过约束
假设我们沿着同一约束线同时对物体施加两个约束，如图 1-9A 或 1-9B所示。这将产生
一种称为过约束的情形。无论对于哪一种情形（A 或 B） ，其中的两个约束都在同时约束同
一自由度（图示情况下为 X 自由度）1853