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JJF1059-2010 中华人民共和国国家计量技术规范 JJF1059.1-201X

时间:2012-12-16 10:22:45 作者:222.134.75.254 来源:JJ 阅读:5671次
JJF1059-2010  中华人民共和国国家计量技术规范 JJF1059.1-201X
JJF1059-2010
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                                                      JJF
中华人民共和国国家计量技术规范
                     JJF1059.1-201X 
 
 
 
测量不确定度评定与表示
Evaluation and Expression
of Uncertainty in Measurement
 
 
 
 
 
 
 
201X-××-×× 发布               201×-××-××实施
 
国家质量监督检验检疫总局  发布
 
 
 
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JJF1059.1-201X
⋇   JJF1059-1999
 
 
测量不确定度评定与表示 
Evaluation and Expression
Of Uncertainty in Measurement
 
 
 
 
 
 
 归口单位:全国法制计量管理计量技术委员会
起草单位:江苏省计量科学研究院
           中国计量科学研究院
国家质检总局计量司
北京理工大学
 
 
 
 
 
 
 
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本规范委托全国法制计量管理计量技术委员会解释
 
本规范起草人:
叶德培
赵峰    江苏省计量科学研究院
原遵东  中国计量科学研究院
陈红    国家质检总局计量司
施昌彦 
沙定国  北京理工大学
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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目    录
1 引言
2 适用范围
3 引用文献
4 术语和定义 
5 测量不确定度的评定
5.1 测量不确定度来源分析
5.2 测量模型的建立 
5.3 标准不确定度分量的评定
5.4 合成标准不确定度的计算
5.5 扩展不确定度的确定
6 测量结果的报告
附录A  测量不确定度评定举例(参考件)
附录B  t分布在不同概率p与自由度n 的 ) (n p t 值(t值)(补充件) 
附录C  有关量的符号汇总 (补充件 )
附录D  术语的英汉对照(参考件)
 
 
 
 
 
 
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1 引言
   本规 范 规定 了 测量 不 确定 度 评定 与 表示 的 通 用 方 法 , 是
JJF1059-1999 的修订版本,修订的依据是国际标准 ISO/IEC Guide98 测
量不确定度及其第三部分 ISO/IEC Guide98-3-2008《测量不确定度表示
指南》(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement 以
下简称 GUM),该标准是在对 1995 版 GUM 修订的基础上以 8 个国际组织的
名义于 2008 年联合发布,这 8 个国际组织是国际标准化组织(ISO)、国际
电工委员会(IEC)、国际计量局(BIPM )、国际法制计量组织(OIML)、国际
理论化学与应用化学联合会(IUPAC)、国际理论物理与应用物理联合会
(IUPAP),国际临床化学联合会(IFCC),国际实验室认可合作组织(ILAC)。
GUM 方法是当前国际通行的观点和方法,可以用统一的准则对测量结果及
其质量进行评定、表示和比较。在我国实施与国际接轨的测量不确定度评
定以及测量结果包括其不确定度的表示方法, 不仅是不同学科之间交往的
需要,也是全球市场经济发展的需要。
本规范的目的是:
—— 促进以充分完整的信息表示带有测量不确定度的测量结果;
—— 为测量结果的比较提供基础。
本规范规定的评定与表示测量不确定度的方法满足以下要求:
1) 具有普遍适用性。 适用于各种测量领域和各种准确度等级的测量; 
    2) 具有内部协调一致性。测量不确定度能从对测量结果有影响的不
确定度分量导出,且与这些分量怎样分组无关,也与这些分量如何进一步
分解为下一级分量无关;
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3)具有可传播性。当一个测量结果用于下一个测量时,其不确定度
可作为下一个测量结果不确定度的分量。
4) 具有实用性。在诸如工业、商业及与健康或安全有关的某些领域
中,往往要求提供较高概率的区间,本方法能方便地给出这样的区间及相
应的包含概率。
本规范仅给出了在最常见情况下评定与表示测量不确定度的原则、方
法和简要步骤,其中的注和举例,旨在对原则和方法作详细说明,以便于
进一步理解和有助于实际应用。
在一些特殊情况下,本规范的方法可能不适用或规范不够具体,例如
测量如何模型化、最小二乘法运算时的测量不确定度评定、概率分布传播
的蒙特卡洛法以及测量不确定度在合格评定中的应用等, 将在以后的规范
中陆续发布。对于在特殊专业领域中的应用,鼓励各专业技术委员会依据
本规范制定专门的技术规范或指导书。
    本规范包含四个附录,附录A“测量不确定度评定举例”旨在帮助根
据本规范的要求进行测量不确定度评定时作为参考;。附录B“t 分布在
不同概率p与自由度n的tp(n)值”和附录C“有关量的符号汇总”是本规范
内容的补充,所用的基本符号,取自GUM 及有关的ISO、IEC标准;附录D
“术语的英汉对照”在国际交流时可供参考。
 
 
2 适用范围
2.1 本规范所规定的评定与表示测量不确定度的通用规则, 适用于各种准
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确度等级的测量领域,例如:
1)国家计量基准、计量标准的建立及量值的比对;
2) 标准物质的定值、标准参考数据的发布;
3) 检定规程、检定系统表、校准规范等技术文件的编制;
4) 科学研究及工程领域的测量;
5) 计量认证、计量确认、质量认证以及实验室认可中对测量结果及
测量能力的表述;
6) 测量仪器的校准和检定;
7) 生产过程的质量保证以及产品的检验和测试;
8) 贸易结算、医疗卫生、安全防护、环境监测及资源测量等测量活
动。
2.2 本规范主要涉及有明确定义的, 并可用唯一值表征的被测量估计值的
不确定度。至于被测量呈现为一系列值的分布或取决于一个或多个参量
(例如,以时间为参变量),则对被测量的描述是一组量,应给出其分布情
况及其相互关系。
2.3 本规范也适用于实验、测量方法、测量装置和系统的设计和理论分析
中有关不确定度的评估与表示。
2.4 本规范在以下情况下使用时可能有困难或不适用:
  1)输入量的概率分布不对称;
  2)不能假设输出量的概率分布近似为正态分布或 t 分布;
  3)测量模型不能用线性模型近似或求灵敏系数很困难;
  4)被测量的估计值与其标准不确定度大小相当。
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    当遇到上述情况时,可考虑采用蒙特卡洛法(简称 MCM),即采
用概率分布传播的方法,评定测量不确定度。  MCM 的 使 用 详见
JJF1059.2:2011《用蒙特卡洛法评定测量不确定度》。当用本规范的
方法(简称 GUM 法) 评定的结果得到蒙特卡洛法验证时, 则依然可以用
本规范的方法评定测量不确定度。
3 引用文献
3.1 JJF1001-201X 《通用计量术语及定义》;
3.2 GB3101-1993《有关量、单位和符号的一般原则》; 
3. 3 GB4883-1985《正态分布中异常值的判断和处理》;
3.4 GB/T 8170-2008《数值修约规则与极限数值的表示和判定》
3.5  ISO/IEC  Guide  99:2007  International  Vocabulary  of
Metrology——Basic  and  General  Concepts  and  Associated  terms
(VIM))《国际计量学词汇——基础通用的概念和相关术语》
3.6 ISO/IEC Guide98-3-2008“Uncertainty of measurement —
Part 3:Guide to the expression ofuncertainty in measurement
(GUM:1995)”《测量不确定度-第三部分:测量不确定度表示指南》
3.6 ISO3534-1-1993“Statistics Vocabulary and Symbols Part 1:
Probability and General Statiatical Terms”《统计学术语和符号-
第一部分:概率和通用统计学术语》
4 术语和定义
   本规范中的计量学术语采用 JJF1001-201X《通用计量术语及定义》
及国际标准 ISO/IEC  Guide99:2007(即 VIM 第三版)。本规范中所用的
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概率和统计学术语基本采用国际标准 ISO3534-1-1993 的术语和定义。
4.1 被测量 measurand
拟测量的量。
注:
1. 对被测量的说明要求了解量的种类,以及含有该量的现象、物体
或物质状态的描述,包括有关成分及化学实体。
2. 测量包括测量系统和测量条件,它可能会改变研究中的现象、物
体或物质,使受到测量的量可能不同于定义的被测量。在这种情
况下,适当的修正是必要的。
例:a) 用较小内阻的电压表测量电池两端之间的电位差,开路电
位差可从电池和电压表的内阻计算得到。
b) 在平衡到环境温度 23℃时钢棒长度与在特定温度 20℃时
测量得到的长度有差别,这种情况下必须加以修正。
4.2 影响量 influence quantity
在直接测量中不影响直际测量的量, 但影响示值与测量结果之间关系
的量。 
例:a) 用安培计直接测量交流电流恒定幅度时的频率;
b) 在直接测量人体血浆中血红蛋白浓度时,胆红素物质的量浓
度;
c) 用于测量某杆长度的测微计的温度;不是杆本身的温度,因
为杆的温度可以进入被测量的定义中。
d) 测量物质的量分数时,质谱仪离子源的本底压力。
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注:
1. 间接测量涉及各直接测量的合成, 每项直接测量都可能受到影响
量的影响。
2. 在 GUM 中“影响量”是按 VIM 第 2 版定义的,它不仅包括影响测
量系统的量,也包括影响实际测量的量。并且在 GUM 中不受直接
测量的限制。
4.3 测量结果  measurement result, result of measurement[
与其它有用的相关信息一起赋予被测量的一组量值。
注 1 测量结果通常包含这组量值的“相关信息”,诸如某些可以比其
他方式更能代表被测量的信息。它可以概率密度函数(PDF)的
方式表示。
注 2:测量结果通常表示为单个测得的量值和一个测量不确定度。对
某些用途,如认为测量不确定度可忽略不计,则测量结果可表示
为单个测得的量值。在许多领域中这是表示测量结果的常用方
式。
注 3:在传统文献和上版 VIM 中,测量结果定义为赋予被测量的值,
并按情况解释为平均示值、未修正的结果或已修正的结果。
4.4 测量重复性 measurement repeatability 
  简称重复性(repeatability)
在一组重复性测量条件下的测量精密度。
4.5 测量精密度 measurement precision
  简称精密度(precision)
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在规定条件下, 对同一或类似被测对象重复测量所得示值或测得值间
的一致程度。
4.6  重 复 性 测 量 条件 measurement  repeatability  condition  of
measurement
    简称重复性条件(repeatability condition)
    相同测量程序、相同操作者、相同测量系统、相同操作条件和相同地
点,并在短时间内对同一或相类似被测对象重复测量的一组测量条件。
注:在化学中,术语“序列内精密度测量条件”有时用于指“重复
性测量条件”。
4.7 实验标准偏差 experimental standard deviation
简称实验标准差
对同一被测量作 n 次测量,表征测量结果分散性的量。 用符号 s 表示,
可按下式算出:
式中: xi是第 i 次测量的测得值,n 是测量次数,x是 n 次测量所
得一组测得值的算术平均值。
注:n 次测量的算术平均值x的实验标准偏差 ) (x s 为:
         n x s x s / ) ( ) ( =  
4.8 测量不确定度 measurement uncertainty
简称不确定度(uncertainty)
根据所获信息,表征赋予被测量值分散性的非负参数。
注:
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1. 测量不确定度包括由系统影响引起的分量,如与修正量和测量
标准所赋量值有关的分量及定义的不确定度。有时对估计的系
统影响未作修正,而是当作不确定度分量处理。
2. 此参数可以是诸如称为标准测量不确定度的标准偏差(或其特
定倍数),或是说明了包含概率的区间半宽度。
3. 测量不确定度一般由若干分量组成。其中一些分量可根据一系
列测量值的统计分布,按测量不确定度的 A 类评定进行评定,
并用实验标准偏差表征。而另一些分量则可根据经验或其它信
息假设的概率分布,按测量不确定度的 B 类评定进行评定,也
用标准偏差表征。
4.通常,对于一组给定的信息,测量不确定度是相应于所赋予被
测量的量值的。该值的改变将导致相应的不确定度的改变。
4.9 标准不确定度 standard uncertainty 
全称标准测量不确定度(standard measurement uncertainty)
    以标准偏差表示的测量不确定度。
4.10 测量不确定度的 A 类评定 Type A evaluation of measurement
uncertainty
简称 A 类评定(Type A evaluation)
对在规定测量条件下测得的量值, 用统计分析的方法进行的测量不确
定度分量的评定。
注: 规定测量条件是指重复性测量条件、期间精密度测量条件或复
现性测量条件。
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4.11 测量不确定度的 B 类评定  Type B evaluation of measurement
uncertainty 
    简称 B 类评定(Type B evaluation)
用不同于测量不确定度 A 类评定的方法进行的测量不确定度分量的
评定。
例:评定基于以下信息:
-权威机构发布的量值,
-有证标准物质的量值,
-校准证书,
-仪器的漂移,
-经检定的测量仪器准确度等级,
-根据人员经验推断的极限值等。
4.12 合成标准不确定度 combined standard uncertainty
    全称合成标准测量不确定度(combined  standard measurement
uncertainty)
由在一个测量模型中各输入量的标准测量不确定度获得的输出量的
标准测量不确定度。
注: 在数学模型中输入量相关的情况下,计算合成标准不确定度时
必须考虑协方差。 
4.13 相对标准不确定度 relative standard uncertainty
    全称相对标准测量不确定度 (relative standard measurement
uncertainty)
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    标准不确定度除以测得值的绝对值。
4.14 扩展不确定度 expanded uncertainty
    全称扩展测量不确定度 expanded measurement uncertainty
合成标准不确定度与一个大于 1 的数字因子的乘积。
注:
1. 该因子取决于测量模型中输出量的概率分布类型及所选取的包含
概率。 
2. 本定义中术语“因子”是指包含因子。
4.15 包含区间 coverage interval
基于可获信息确定的包含被测量一组值的区间, 被测量值以一定概率
落在该区间内。
注:
1. 包含区间不必以所选的测得值为中心。
2. 不应把包含区间称为置信区间,以避免与统计学概念混淆。
4.16 包含概率 coverage probability 
在规定的包含区间内包含被测量的一组值的概率。
注:
1. 不应把包含概率称为置信水平,以避免与统计学概念混淆。
2.  包含概率替代了置信水准或置信的水平(level  of  confidence) 。  
4.17 包含因子 coverage factor 
为获得扩展不确定度,对合成标准不确定度所乘的大于 1 的数。
注: 包含因子通常用符号 k 表示。
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4.18 测量模型 measurement model
    简称 模型 model
测量中涉及的所有已知量间的数学关系。
注:
1. 测量模型的通用形式是方程:h(Y,X1,…,Xn)=0,其中测量模型
中的输出量 Y 是被测量,其量值由测量模型中输入量 X1,…,Xn
的有关信息推导得到。
      2. 在有两个或多个输出量的较复杂情况下,测量模型包含一
个以上的方程。
2. 在测量模型中,输入量与输出量间的函数关系又称测量函数。
4.19 测量模型中的输入量 input quantity in a measurement model
    简称输入量(input quantity)
为计算被测量的测得值而必须测量的量, 或其值可用其它方式获得的
量。
     例:当被测量是在规定温度下某钢棒的长度时,则实际温度、
在实际温度下的长度以及该棒的线热膨胀系数为测量模型中的
输入量。 
   注:
1. 测量模型中的输入量往往是某个测量系统的输出量。
    2. 示值、修正值和影响量可以是测量模型中的输入量。
4.20 测量模型中的输出量 output quantity in a measurement model
     简称输出量(output quantity)
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     用测量模型中输入量的值计算得到的测得值的量。
4.21 定义的不确定度 definitional uncertainty
由于被测量定义中细节的描述有限所引起的测量不确定度分量。
注:
1. 定义的不确定度是在任何给定被测量的测量中实际可达到的最小
测量不确定度。
2. 所描述细节中的任何改变导致另一个定义的不确定度。
4.22 仪器的测量不确定度 instrumental measurement uncertainty
由所用测量仪器或测量系统引起的测量不确定度的分量。
注:
1. 除原级测量标准采用其他方法外,仪器的不确定度是通过对测量
仪器或测量系统的校准得到。
2. 仪器不确定度通常按 B 类测量不确定度评定。
3. 对仪器的测量不确定度的有关信息可在仪器说明书中给出。
4.23 零的测量不确定度 null measurement uncertainty
规定的测量值为零时的测量不确定度。
注:零的测量不确定度与示值为零或近似为零相关联,并包含被测量
小到不知是否能检测的区间或仅由于噪声引起的测量仪器的示
值。
4.24 不确定度报告 uncertainty budget [2.33]
    对测量不确定度的陈述, 包括测量不确定度的分量及其计算和合
成。
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注:不确定度报告应该包括测量模型、估计值、测量模型中与各个量
相关联的测量不确定度、协方差、所用的概率密度函数的类型、
自由度、测量不确定度的评定类型和包含因子。
4.25 目标不确定度 target uncertainty
    全称目标测量不确定度(target measurement uncertainty)
根据测量结果的预期用途确定并规定为上限的测量不确定度。
4.26 自由度 degrees of freedom
在方差的计算中,和的项数减去对和的限制数。
注 :
1 在重复性条件下,对被测量作 n 次独立测量时所得的样本方差为
) 1 /( ) (
2 2
2
2
1 - + + + n v v v n L ,其中 vi 为残差: x x v - = 1 1 , x x v - = 2 2 ,…
x x v n n - = 。因此,和的项数即为残差的个数 n,而当 n 较大时
0 = å i
n
是一个约束条件,即限制数为 1。由此可得自由度n=n-1。 
 2 当用测量所得的n组数据按最小二乘法拟合的校准曲线确定 t
个被测量时,自由度n=n-t 。如果另有 r 个约束条件,则自由
度n=n-t-r。
 3 自由度反映了相应实验标准偏差的可靠程度。用贝塞尔公式估计
实验标准偏差 s 时,s 的相对标准差为: n o 2 / 1 / ) ( = s s 。若测量
次数为 10,则n=9,表明估计的 s 的相对标准差约为 0.24,可
靠程度达 76%。
 4 合成标准不确定度 uc(y)的自由度,称为有效自由度neff ,用于在
评定扩展不确定度 Up时求得包含因子 kp。
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4.27 协方差(covariance)
协方差是两个随机变量相互依赖性的度量,它是两个随机变量各自的
误差之积的期望。用符号C0V(X,Y)或V(X,Y)表示
             V(X,Y)=E[(x-mx)(y-my)]
注:定义的协方差是在无限多次测量条件下的理想概念。有限次测量
时协方差的估计值用s(x,y)表示:
 
式中 
 
4.28 相关系数 correlation coefficient
相关系数是两个变量之间相互依赖性的度量,它等于两个变量间的
协方差除以各自方差之积的正平方根,用符号r(x, y)表示
) ( ) (
) , (
) , ( ) , (
) , (
) , ( ) , (
x y
x y V
x x V y y V
x y V
x y y x
s s
r r = = = 
注:
1,定义的协方差是在无限多次测量条件下的理想概念。有限次测
量时相关系数的估计值用r(x,y)表示,
) ( ) (
) , (
) , ( ) , (
) , (
) , ( ) , (
y s x s
y x s
y y s x x s
y x s
x y r y x r = = = 
2,相关系数是一个[-1,+1]间的纯数, 
3, 对于多变量概率分布,通常给出相关系数矩阵,该矩阵的对角
线元素为1。
5. 测量不确定度的评定
å =
- -
-
=
n
i
i i
Y y X x
n
y x s
1
) )( (
1
1
) , (
å =
=
n
i
i
x
n
X
1
1
å =
=
n
i
i
y
n
Y
1
1
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依据本规范评定测量不确定度的一般流程见下图:
 
           图 1 用 GUM 法评定不确定度的一般流程
5.1 测量不确定度来源分析
5.1.1 由测量所得的测得值只是被测量的估计值,测量过程中的随机影
响及系统影响均会导致测量不确定度。对已认识的系统影响进行修正后
的测量结果仍然只是被测量的估计值,还存在由随机影响导致的不确定
和由于对系统影响修正不完善导致的不确定度。从不确定度评定方法上
所作的A类评定、B类评定的分类与产生不确定度的原因无任何联系,不
能称为随机不确定度和系统不确定度。
5.1.2完整的测量结果应包括被测量的估计值及其测量不确定度。
 测量中可能导致测量不确定度的来源一般可从以下方面考虑:
a) 被测量的定义不完整;
b) 复现被测量的测量方法不理想;
c) 取样的代表性不够,即被测样本不能代表所定义的被测量;
d) 对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控
制不完善;
e)对模拟式仪器的读数存在人为偏移;
分析不确定度来源和建立测量模型
评定标准不确定度分量u i
计算合成标准不确定度uc
确定扩展不确定度U
报告测量结果
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f) 测量仪器的计量性能 (如最大允许误差、灵敏度、鉴别力、分辨
力、死区及稳定性等)的局限性导致的不确定度,即仪器的不确定
度;
g) 测量标准或标准物质提供的量值的不确定度;
h) 引用的数据或其他参量的不确定度;
i) 测量方法和测量程序中的近似和假设;
j) 在相同条件下重复观测中测得的量值的变化。
测量不确定度的来源必须根据实际测量情况进行具体分析。
5.1.3 由于被测量的定义中对影响被测量的影响量的细节描述不足所导
致的测量不确定度分量属于定义的不确定度。定义的不确定度是在任何
给定被测量的测量中实际可达到的最小测量不确定度。
5.1.4分析测量不确定度来源时, 除了定义的不确定度外, 可从测量仪器、
测量环境、测量人员、测量方法等方面全面考虑,特别要注意对测量结
果影响较大的不确定度来源,应尽量做到不遗漏、不重复。使评定得到
的测量不确定度不致过小或过大。
注:一般,测量重复性导致的不确定度中包含了测量时各种随机影响的
贡献,如果其中包括由于分辨力不足引起的测得值的变化,这种情况下
只要评定测量重复性导致的不确定度,就不必再重复评定分辨力导致的
不确定度。但是特殊情况下,由于分辨力太差,以致无法获得测量重复
性时,就需要评定分辨力导致的不确定度。例如用显示为七位半的多功
能源去校准三位半的数字电压表时,多次测量的测得值不变,此时就应
评定被校数字电压表分辨力导致的不确定度。
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5.1.5 修正仅仅是对系统误差的补偿,修正值是具有不确定度的。在评定
已修正的被测量的估计值的测量不确定度时,要考虑修正引入的不确定
度。只有当修正值的不确定度较小,且对合成标准不确定度的贡献可忽
略不计的情况下,可不予考虑。如果修正值本身与合成标准不确定度比
起来也很小时,修正值可不加到被测量的估计值之中,而作为不确定度
考虑。
5.1.6 在实际工作中,尤其是在法制计量领域中,被测量通过与相应的
计量标准相比较获得其估计值。被测量所要求的最大允许误差与计量标
准及比较过程导致的不确定度之比达到3:1或以上比例时,通常测量不确
定度可以忽略不计。
注:例如,用经校准的标准砝码检定商用台秤,商用台秤的最大允许误
差与标准砝码的扩展不确定度 (k=2) 之比大于3;1,检定时标准砝码的
测量不确定度可以忽略不计。
5.1.7 当某些被测量是通过与物理常量相比较得出其估计值时,按常数
或常量来报告测量结果,可能比用测量单位来报告测量结果,有较小的
不确定度。
注:例如,一台高质量的齐纳电压标准通过与约瑟夫逊效应电压基准相
比较而被校准。该基准是国际计量委员会(CIPM)向国际推荐的约瑟夫逊
常量K1-90的约定值为基础的,当按约定的K1-90作为单位来报告测量结果时,
齐纳电压标准的已校准电压Vs的相对合成标准不确定度为
8
10 2 / ) ( ) (
-
´ = = s s c s crel
V V u V u
。然而,当Vs按电压的单位伏特给出时,
7
10 4 ) (
-
´ = s crel
V u ,因为K1-90用Hz/V表示其量值时引入了不确定度。
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-   -  22
5.1.8 测量中的一些失误或突发原因不属于测量不确定度的来源。在测
量不确定度评定中,必须剔除测得值中的异常值。异常值的剔除应通过
对数据的适当检验进行。
注:异常值的判断和处理方法可见GB4883-1985《正态分布中异常值的判
断和处理》 。
5.2 测量模型的建立
5.2.1 测量中,当被测量(即输出量) Y由N个其他量X1,X2,…,XN(即输入
量),通过函数f来确定时,则
) , , , ( 2 1 N X X X f Y L =                            (1)
称为测量模型(或称数学模型) 。式中大写字母表示量的符号,f 为测量
函数。
设输入量Xi的估计值为xi, 被测量Y的估计值为y, 则测量模型可写成: 
) , , , ( 2 1 N x x x f y L =                           
(2)
测量模型与测量方法有关。
注: 在一系列输入量中, 第k个输入量用Xk表示。 如果第k个输入量是电阻,
其符号为R,则Xk可表示为R。
例: 一个随温度t变化的电阻器两端的电压为V, 在温度为t0时的电阻为R0,
电阻器的温度系数为a,则电阻器的损耗功率P (被测量)取决于V, R0, a
和t,即测量模型为:
)] ( 1 [ / ) , , , ( 0 0
2
0 t t R V t R V f P - + = = a a 
用其他方法测量损耗功率P时,可能有不同的测量模型。
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-   -  23
5.2.2 在简单的直接测量中测量模型可能简单到以下形式:
                2 1 X X Y - =                        (3)
甚至               X Y =                         (4)
例:用压力表测量压力,被测量(压力)的估计值y就是仪器(压力表)
的示值x。测量模型为y=x。
5.2.3 输出量Y的每个输入量X1,X2,…,XN,本身可看作为被测量,也可
取决于其他量,甚至包括修正值或修正因子,从而可能导出一个十分复
杂的函数关系,甚至测量函数f不能用显式表示出来。
5.2.4 物理量测量的测量模型一般根据物理原理确定。非物理量或不能
用物理原理确定的情况下,测量模型也可以用实验方法确定,或仅以数
值方程给出,在可能情况下,尽可能采用按长期积累的数据建立的经验
模型。用核查标准和控制图的方法表明测量过程始终处于统计控制状态
时,有助于测量模型的建立。
5.2.5 如果数据表明测量函数没有能将测量过程模型化至测量所要求的
准确度,则要在测量模型中增加附加输入量来反映对影响量的认识不足。 
注:例如在5.2.1的例中,必要时,电阻器的损耗功率P的测量模型中还
需要考虑将电阻上已知的温度分布不均匀、电阻温度系数的非线性以及
电阻与大气压力的关系作为附加输入量。
4.2.5 测量模型中输入量可以是:
a) 由当前直接测得的量。这些量值及其不确定度可以由单次观测、
重复观测或根据经验估计得到,并可包含对测量仪器读数的修正值和对
诸如环境温度、大气压力、湿度等影响量的修正值。
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-   -  24
b) 由外部来源引入的量。如已校准的计量标准或有证标准物质的
量,以及由手册查得的参考数据等。
5.2.6 在分析测量不确定度时,测量模型中的每个输入量的不确定度均
是输出量的不确定度的来源。
5.2.7 本规范主要适用于测量模型为线性函数的情况。如果是非线性函
数,应采用泰勒级数展开,忽略其高阶项后将被测量近似为输入量的线
性函数,才能进行测量不确定度评定。当测量函数为明显非线性时,合
成标准不确定度中必须包括泰勒级数展开中的主要高阶项。
5.2.7 被测量Y的最佳估计值y在通过输入量X1,X2,…,XN的估计值x1,
x2,…,xN得出时,可有以下两种计算方法:
a)
                   
å
å
=
=
=
= =
n
k
Nk k k
n
k
k
x x x f
n
y
n
y y
1
2 1
1
) , , , (
1
1
L
               (5) 
式中,y是取Y的n次独立测得值yk的算术平均值,其每个测得值yk的不确
定度相同,且每个yk都是根据同时获得的N个输入量Xi的一组完整的测得
值求得的。
b)
            
) , , , ( 2 1 N x x x f y L =                       (6)
式中, å =
=
n
k
k i i
x
n
x
1
,
1
,它是第i个输入量的k次独立测量所得的测得值xi,k的算
术平均值。这一方法的实质是先求Xi的最佳估计值 i
x ,再通过函数关系式
计算得出y。
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以上两种方法,当f是输入量Xi的线性函数时,它们的结果相同。但
当f是Xi的非线性函数时,应采用(5)式的计算方法。
5.3 标准不确定度分量的评定
5.3.1 概述
5.3.1.1 每个测量不确定度的来源用其概率分布的标准偏差估计值表征,
称标准不确定度分量,用 ui 表示。标准不确定度分量的评定就是要获得
每个分量的标准偏差估计值。根据对 Xi的一系列测得值 xi得到实验标准
偏差的方法为 A 类评定, 根据有关信息估计的先验概率分布得到标准偏差
估计值的方法为 B 类评定。
5.3..1.2 在识别不确定度来源后,对不确定度各个分量作一个预估算是
必要的,测量不确定度评定的重点应放在识别并评定那些重要的、占支配
地位的分量上。
5.3.2 标准不确定度分量的 A 类评定
5.3.2.1 评定方法
  对被测量进行独立重复测量,通过所得到的一系列测得值,用统计分
析方法获得实验标准偏差s(x) ,当用算术平均值x作为被测量估计值时,
被测量估计值的A类标准不确定度为:
       
n
x s
x s x u uA
) (
) ( ) ( = = =                       (7)
A类标准不确定度评定的一般流程见图2所示。
 
 
 
A类评定开始
对被测量X进行n次独立测量得
到一系列测得值 xiď i=1,2,…,nĐ 
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-   -  26
 
 
 
 
 
 
 
图2 标准不确定度A类评定流程图
5.3.2.2基本方法——用贝塞尔公式法评定
在重复性条件或复现性条件下对同一被测量独立重复测量n次, 得到n
个测得值xi(i=1,2,…,n),被测量X的最佳估计值是n个独立测得值
的算术平均值x:
å =
=
n
i
i
x
n
x
1
1
                      (8)
每个测得值xi与x之差称为残差vi: x x v i i
- = 
单个测得值x的实验方差为:
       
å =
-
-
=
n
i
i
x x
n
x s
1
2 2
) (
1
1
) (
                       (9)
单个测得值x的实验标准偏差s(x)为:
      
å =
-
-
=
n
i
i
x x
n
x s
1
2
) (
1
1
) (
                     (10)
式(10)就是贝塞尔公式,自由度ν为n-1。实验标准偏差s(x)表征了测得
值x的分散性,测量重复性用s(x)表征。
被测量估计值x的A类标准不确定度 ) (x uA 按下式计算:
计算被测量的最佳估计值x 
å =
=
n
i
i
x
n
x
1

计算A类标准不确定度 ) (x uA 
n
x s
x s x uA
) (
) ( ) ( = = 
计算实验标准偏差 s(x)
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      n x s x s x uA / ) ( ) ( ) ( = =                        (11)
A类标准不确定度 ) (x uA 的自由度为实验标准偏差s(x)的自由度,即ν
=n-1。式中n为获得x时的测量次数。实验标准偏差s( x )表征了被测量估
计值x的分散性。
5.3.2.3 用极差法评定
  一般在测量次数较少时可采用极差法获得s(x)。在重复性条件或复现性
条件下,对Xi进行n次独立测量,测得值中的最大值与最小值之差称为极
差,用符号R表示。在Xi可以估计接近正态分布的前提下,单次测得值x的
实验标准差s(x)可按下式近似地评定:
C
R
x s = ) (                                     
(12)
式中极差R=xmax-xmin,极差系数C及自由度ν由表1得到:
 
表1   极差系数C及自由度
n   2  3  4  5  6  7  8  9
C   1.13  1.64  2.06  2.33  2.53  2.70  2.85  2.97
ν  0.9  1.8  2.7  3.6  4.5  5.3  6.0  6.8
被测量估计值的标准不确定度按下式计算:
    
n C
R
n x s x s x uA = = = / ) ( ) ( ) (                 (13)
例:对某被测件的长度进行4次测量的最大值与最小值之差为3cm,查表1
得到极差系数C为2.06,则长度测量的A类标准不确定度为:
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cm 73 . 0
4 06 . 2
3
) ( =
´
= =
n C
R
x uA ,自由度ν=2.7。
 5.3.2.4  当输入量Xi的估计值xi是由实验数据用最小二乘法拟合的曲线
上得到时,曲线上任何一点和表征曲线拟合参数的标准不确定度,可用有
关的统计程序评定。如果被测量估计值xi在多次观测中呈现与时间有关的
随机变化,则应采用专门的统计分析方法,例如频率测量中,需采用阿伦
标准偏差(阿伦方差)。             
5.3.2.5 用测量过程的合并标准偏差评定
对一个测量过程,若采用核查标准和控制图的方法使测量过程处于
统计控制状态,若每次核查时测量次数 nj(自由度为νj),每次核查时的
实验标准偏差为 sj  ,共核查 m 次,则统计控制下的测量过程的 A 类标
准不确定度可以用合并实验标准偏差 sp表征。测量过程的实验标准偏差: 
2
11
( ) ( ) /)
mm
P j jj
jj
s x ss nn
==
== åå                 (14)  
若每次核查的自由度相等(即每次核查时测量次数相同),则合并实
验标准偏差为:
       
m
s
s
m
i
j
p
å =
= 1
2
                           (15)
式中 sp为合并标准偏差,是测量过程长期组内标准偏差的统计平均
值;
     sj为第 j 次核查时的实验标准偏差;
     m 为核查次数。
在过程参数 sp已知的情况下,由该测量过程对被测量 X 在同一条件
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下进行 n 次独立重复观测,以算术平均值X为测量结果,测量结果的 A
类标准不确定度为:
          ( ) ( )/ Ap u x u X sn ==                          (16)
在以后的测量中,只要测量过程受控,则由上式可以确定测量任意
次时被测量估计值的 A 类标准不确定度。若只测一次,即 n=1,则
n s x u p A / ) ( = =sp。                  
5.3.2.6 相同条件下重复测量一组同类被测量时的A类评定
  在规范化的常规检定或检验中,例如使用同一个计量标准或测量仪器
在相同条件下检定或测量示值基本相同的一组同类被测件的被测量时,
可以用该一组被测件的测得值作测量不确定度的A类评定。
   对每个被测件的被测量 i
x 在相同条件下进行n次独立测量,有
in i i
x x x , , ,
2 1 L ,其平均值为 i
x ,若有m个被测件,则有m组这样的测得值,按
下式计算单个测得值的合并标准偏差 ) ( i p x s :
åå = =
= -
-
=
m
i
n
j
i i ij i p x u x x
n m
x s
1 1
2 2
) ( ) (
) 1 (
1
) (            (17)
式中,i=(1,2,…,m)为组数,j=(1,2,…,n)为每组测量的次数。
若对每个被测件已分别按n次重复测量算出了其实验标准偏差 i
s , 则m
组的合并标准偏差 p s 可按下式计算:
å =
=
m
i
i i p s
m
x s
1
2 1
) (                             
(18)
式(17)和式(18)给出的 p s ,自由度均为 ) 1 ( - n m 。
若对m个被测量 i
X 分别重复测量的次数不完全相同, 设各为 i
n , 而 i
X
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的标准偏差 ) ( i
x s 的自由度为 1 - = i i
n n ,通过m个 i
s 与 i
n 可得 p s 为:
å å = 2 1
) ( i i
i
i p s x s n
n
                        (19)
自由度为 å =
=
m
i
i
1
n n 。
由上述方法对某个被测件进行n¢次测量所得测量结果的A类标准不确定度
为: n x s x s x uA ¢ = = / ) ( ) ( ) ( 
用这种方法可以增大评定的标准不确定度的自由度,也就提高了可信度。 
5.3.2.7 用预评估重复性进行 A 类评定
  在日常开展同一类被测件的常规检定、校准或检测工作中,如果测量系
统稳定,测量重复性不变,则可用该测量系统,以与测量被测件相同的测
量程序、 操作者、 操作条件和地点, 预先对典型的被测件的典型被测量值,
进行n次测量(一般n不小于10),由贝塞尔公式计算出单个测得值的实验
标准偏差s(x), 即重复性。 在对某个被测件实际测量时可以只测量n¢次 (1
≤n¢<n),并以n¢次独立测量的算术平均值作为被测量的估计值,则该
被测量估计值的A类标准不确定度为
             n x s x s x u ¢ = = / ) ( ) ( ) (                    (20)
用这种方法评定的标准不确定度的自由度仍为n= n -1。可以提高对估计
的A类标准不确定度的可信程度。
应注意,当怀疑测量重复性有变化时,应及时重新测量和计算实验标准偏
差s(x)。
例:在对压力计校准中,我们预先对与被校压力计同类的压力计的典型
刻度上测量10次(n=10),用贝塞尔公式计算出测量系统的重复性s(x),
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然后在重复性条件下,对被校压力计的刻度进行5次测量(n¢=5),取5
次测量的平均值作为被测量的估计值,则由测量重复性引入的标准不确
定度分量用A类评定为: 5 / ) (x s uA = ,自由度n= 10 -1=9。
5.3.2.8  A类评定方法通常比用其他评定方法所得到的不确定度更为客
观,并具有统计学的严格性,但要求有充分的重复次数。此外,这一测
量程序中的重复测量所得的测得值,应相互独立。
5.3.2.9 应注意:A类评定时,重复测量的方法应尽可能考虑随机影响的
来源,使其反映到测得值中去。例如:
1) 若被测量是一批材料的某一特性, A类评定时应该在这批材料中抽
取足够多的样品进行测量,以便把不同样品间可能存在的随机差
异导致的不确定度分量反映出来;
b) 若测量仪器的调零是测量程序的一部分,获得A类评定的数据时 
   应注意每次测量要重新调零,以便计入每次调零的随机变化导致
   的不确定度分量;
c) 通过直径的测量计算圆的面积时,在直径的重复测量中,应随机
地选取不同的方向测量;
d) 在一个气压表上重复多次读取示值时,每次把气压表扰动一下,
然后让它恢复到平衡状态后再进行读数。
5.3.2.10 如果实际上不可能对被测件进行多次重复测量,则不确定度评
定时无法进行A类评定,可以进行B类评定,即使对随机影响也可以按B类
评定。
5.3.3 标准不确定度分量的 B 类评定
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-   -  32
5.3.3.1 评定方法
   根据有关的信息或经验,判断被测量的可能值区间(x -a ,x +a),
假设被测量值的概率分布, 根据概率分布和要求的包含概率p估计因子k,
则 B 类标准不确定度 uB可由下式得到:
                   
k
a
u = B                       (21)
式中:a 为被测量可能值区间的半宽度。 
注:当 k 为扩展不确定的倍乘因子时称包含因子,其他情况下根据概率
论获得的 k 称置信因子。
B 类标准不确定度评定的一般流程见图 3 所示。
 
 
 
 
 
 
 
 
图 3 标准不确定度 B 类评定流程图
5.3.3.2 区间半宽度 a 的确定 
区间半宽度a根据有关信息确定,信息来源一般有:
a) 以前测量的数据;
b) 对有关材料和测量仪器特性的了解和经验;
B类评定开始
假设被测量值在区间内的
概率分布
确定因子k
计算B类标准不确定度
k
a
uB = 
确定区间半宽度 a
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-   -  33
c) 生产厂提供的技术说明书;
 d) 校准证书、检定证书或其他文件提供的数据; 
e) 手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度;
f) 检定规程、校准规范或测试标准中给出的数据;
e) 其他有用的信息。
注:举例如下:
1)生产厂提供的测量仪器的最大允许误差为±D,并经计量部门检定合
格,则评定仪器的不确定度时,可能值区间的半宽度为:   
         a =D
2)校准证书提供的校准值,给出了其扩展不确定度为 U,则区间的半宽度
为:a =U
3)由手册查出所用的参考数据,其误差限为±D,则区间的半宽度为:a
=D
4)由有关资料查得某参数的最小可能值为 a-和最大值为 a+,最佳估计值
为该区间的中点,则区间半宽度可以用下式估计:a =(a+-a-)/2
5)当测量仪器或实物量具给出准确度等级时,可以按检定规程规定的该
等或级的最大允许误差或测量不确定度来评定。
6)必要时,可根据经验推断某量值不会超出的范围,或用实验方法来估
计可能的区间。
5.3.3.3 k 值的确定
1)已知扩展不确定度是合成标准不确定度的若干倍时,该倍数就是包含
因子 k 值。
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2)假设为正态分布时,根据要求的概率查表 2 得到 k 值。
 
表2  正态分布情况下概率p与k值间的关系
p  0.50  0.68  0.90  0.95  0.9545  0.99  0.9973
k  0.67  1  1.645  1.960  2  2.576  3
3)假设为非正态分布时,根据概率分布查表 3 得到 k 值。
表3 常用非正态分布时的k值及B类标准不确定度uB(x) 
分布类别  (%) p   k   uB(x) 
三角  100  6   6 / a 
梯形 71 . 0 = b   100  2  2 / a 
矩形(均匀)  100  3   3 / a 
反正弦  100  2   2 / a 
两点  100  1  a 
注:表3中b 为梯形的上底与下底之比,对于梯形分布来说,
) 1 /( 6 2
b + = k ,特别当b 等于1时,梯形分布变为矩形分布;当b 等于0时,
变为三角分布。
5.3.3.4 概率分布的假设 
5.3.3.4.1 被测量受许多随机影响量的影响,当它们各自的影响都很小
时,不论各影响量的概率分布是什么形式,被测量的随机变化服从正态
分布。
5.3.3.4.2 如果有证书或报告给出的不确定度是具有包含概率为 0.90、
0.95、0.99 的扩展不确定度(即给出 U90、U95、U99),此时,除非另有说
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明,可按正态分布来评定 B 类标准不确定度。
5.3.3.4.3 当利用有关信息或经验, 估计出被测量可能值区间的上限和下
限,其值在区间外的可能几乎为零时,若被测量值落在该区间内的任意
值处的可能性相同, 则可假设为均匀分布(或称矩形分布、 等概率分布);
若被测量值落在该区间中心的可能性最大,则假设为三角分布;若落在
该区间中心的可能性最小,而落在该区间上限和下限的可能性最大,则
可假设为反正弦分布。
5.3.3.4.4 对被测量的可能值落在区间内的情况缺乏了解时, 一般假设为
均匀分布。
5.3.3.4.5 实际工作中, 可依据同行专家的研究结果和经验来假设概率分
布。
注: 
  1)由数据修约、测量仪器最大允许误差或分辨力、参考数据的误差限、
度盘或齿轮的回差、平衡指示器调零不准、测量仪器的滞后或摩擦效应
导致的不确定度,通常假设为均匀分布;
  2)两相同均匀分布的合成、两个独立量之和值或差值服从三角分布;
  3) 度盘偏心引起的测角不确定度、正弦振动引起的位移不确定度、无
线电测量中失配引起的不确定度、随时间正弦或余弦变化的温度不确定
度,一般假设为反正弦分布(即U形分布);
  4) 按级使用量块时,中心长度偏差的概率分布可假设为两点分布;
  5) 安装或调整测量仪器的水平或垂直状态导致的不确定度常假设为
投影分布。
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-   -  36
 
例:若数字显示器的分辨力为dx,由分辨力导致的标准不确定度分量u(x)
采用B类评定, 则区间半宽度为a=dx  /2, 假设可能值在区间内为均匀分布,
查表得 3 = k ,因此由分辨力导致的标准不确定度分量u(x)为:
              x
x
k
a
x u d
d
29 . 0
3 2
) ( = = = 
5.3.3.5 B类标准不确定度分量的自由度
B类标准不确定度分量的自由度可由下式计算: 
2
2
2
) (
)] ( [
2
1
)] ( [
) (
2
1
-
ú
û
ù
ê
ë
éD
» »
i
i
i
i
i
x u
x u
x u
x u
s
n                        (22)
根据经验,按所依据的信息来源的可信程度来判断 ) ( i
x u 的相对标准
不确定度 ) ( / )] ( [ i i
x u x u D 。按式(22)计算出的自由度 i
n 列于表4。
   一般情况下,B类评定的标准不确定度分量可以不给出其自由度,除
非用户要求或为获得UP而必须求得uc的有效自由度时。
表 4  ) ( / )] ( [ i i
x u x u D 与 i
n  关系
) ( / )] ( [ i i
x u x u D   i
n   ) ( / )] ( [ i i
x u x u D   i

0  ¥  0.30  6
0.10  50  0.40  3
0.20  12  0.50  2
0.25  8    
5.3.3.6 B类标准不确定度的评定举例参见附录A.1。
 
5.4 合成标准不确定度的计算
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-   -  37
5.4.1 不确定度传播律
   当被测量 Y 由 N 个其它量 X1,X2,…,XN通过线性测量函数 f 确定时,
被测量的估计值 y 为:    ) , , , ( 2 1 N x x x f y L = 
被测量的估计值 y 的合成标准不确定度 uc(y)按下式计算:   
        å åå =
-
= + = ¶



+


=
N
i
N
i
N
i j
j i j i
j i
i
i
c
x u x u x x r
x
f
x
f
x u
x
f
y u
1
1
1 1
2 2
) ( ) ( ) , ( 2 ) ( ] [ ) (       (23)
此式为不确定度传播律。
式中:y 是被测量 Y 的估计值,又称输出量,
      xi是个输入量的估计值,
    
i
x
f


是灵敏系数,通常是对测量函数 f 在 Xi=xi处取偏导数得到,也
可用 ci表示。灵敏系数是一个有符号有单位的量值,它表明了输入量 xi
的不确定度 u(xi)影响被测量估计值的不确定度 uc(y)的灵敏程度。有些
情况下,灵敏系数难以通过函数 f 计算得到,可以用实验确定,即采用
变化一个特定的 Xi,测量出由此引起的 Y 的变化。
     u(xi)是输入量 xi的标准不确定度, 
     r(xi, xj)是输入量 xi与 xj的相关系数,r(xi, xj) u(xi) u(xj)= u(xi,
xj) 是输入量 xi与 xj的协方差。
  式(23)是计算合成标准不确定度的通用公式,当输入量间相关时,
需要考虑它们的协方差。
  当各输入量间均不相关时,相关系数为零。被测量的估计值 y 的合成
标准不确定度 uc(y)按下式计算:
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         å = ¶

=
N
i
i
i
c
x u
x
f
y u
1
2 2
) ( ] [ ) (                       (24)
  当测量函数为明显非线性,且各输入量间均不相关时,被测量的估计
值y的合成标准不确定度uc(y)的表达式中必须包括泰勒级数展开式中的
高阶项。 当每个输入量Xi都对其平均值对称分布时, 考虑高阶项后的uc(y)
可按下式计算:
   å åå = = = ¶ ¶



+
¶ ¶

+


=
N
i
N
i
N
j
j i
j i i j i
i
i
c
x u x u
x x
f
x
f
x x
f
x u
x
f
y u
1 1 1
2 2
2
3
2
2
2 2
) ( ) ( ] ) (
2
1
[ ) ( ] [ ) (    (25)
常用的合成标准不确定度计算流程见图 4。
 
图 4 合成标准不确定度计算流程图
5.4.2 当输入量间不相关时,合成标准不确定度的计算
      对于每一个输入量的标准不确定度 u(xi),设 ) ( ) ( i
i
i
x u
x
f
y u


= 为相应
的输出量的标准不确定度分量,当输入量间不相关,即 r(xi, xj)=0 时,
列出uc(y)的表达式
求灵敏系数ci=¶f/¶xi
评定u(xi)
计算ui(y)=|ci|u(xi)
 分量间相关否?
uc(y)=  å ) (
2 y
i

不相关
uc(y)=  å +相关项分量 ) (
2 y
i

相关
uc(y)
必要时给出neff  
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-   -  39
则式(24)可变换为:             
             å =
=
N
i
i c y u y u
1
2
) ( ) (                      (26)
5.4.2.1 当简单直接测量,测量模型为 y=x 时,应该分析和评定测量时导
致测量不确定度的各分量,若相互间不相关,则:
              å =
=
N
i
i c u y u
1
2
) (                            (27)
注:这种情况下,注意要将各测量不确定度分量的计量单位折算到被测量
的计量单位。例如温度对长度测量的影响导致长度测量结果的不确定度,
应该通过被测件材料的温度系数将温度的变化折算到长度的变化。
5.4.2.2 当测量模型为 Y=A1X1+A2X2+…+ANXN且各输入量间不相关时,合成
标准不确定度可用下式计算:  
       å =
=
N
i
i i c x u A y u
1
2 2
) ( ) (                                 (28)
5.4.2.3 当测量模型为 ) ( 2 1
2 1
N P
N
P P
X X X A Y L = 且各输入量间不相关时,
合成标准不确定度可用下式计算:
      å =
=
N
i
i i i c x x u P y y u
1
2
] / ) ( [ / ) (                             (29)
当测量模型为 ) ( 2 1 N X X X A Y L = 且个输入量间不相关时,
      å =
=
N
i
i i c x x u y y u
1
2
] / ) ( [ / ) (                              (30)
注:只有在测量函数是各输入量的乘积时,可由输入量的相对标准不确
定度计算输出量的相对标准不确定度。
5.4.3 各输入量间正强相关,相关系数为 1 时,合成标准不确定度
应按下式计算: 
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           å = ¶

=
N
i
i
i
c
x u
x
f
y u
1
) ( ] [ ) (                            (31)
若灵敏系数为 1,则
            å =
=
N
i
i c x u y u
1
) ( ) (                               (32)
注:当各输入量间正强相关,相关系数为 1 时,合成标准不确定度不是
各标准不确定度分量的方和根而是各分量的代数和。
5.4.4 各输入量间相关时合成标准不确定度的计算
5.4.4.1 协方差的估计方法
5.4.4.1.1 两个输入量的估计值xi与xj 的协方差在以下情况时可取为零
或忽略不计:
  1) xi和 xj中任意一个量可作为常数处理,
  2) 在不同实验室用不同测量设备、不同时间测得的量值,  
  3) 独立测量的不同量的测量结果。
5.4.4.1.2 用同时观测两个量的方法确定协方差估计值。
  1)设 xik,xjk分别是 Xi及 Xj的测得值。下标 k 为测量次数(k=1,2,…,
n) 。 j i x x , 分别为第 i 个和第 j 个输入量的测得值的算术平均值;两个重
复同时观测的输入量 xi,xj的协方差估计值 ( ,) ij
u xx 可由下式确定:
        ) )( (
1
1
) , (
1
j
jk i
n
k
ik j i
x x x x
n
x x u - -
-
= å =
                        (33)
例如:一个振荡器的频率与环境温度可能有关,则可以把频率和环境
温度作为两个输入量,同时观测每个温度下的频率值,得到一组 tik,fjk
数据,共观测 n 组。由式(33)可以计算它们的协方差。如果协方差为
零,说明频率与温度无关,如果协方差不为零,就显露出它们间的相关
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-   -  41
性,代入式(23)计算合成标准不确定度。
 2)当两个量均因与同一个量有关而相关时,协方差的估计方法:
设  xi=F(q),xj =G(q)
式中,q 为使 xi与 xj 相关的变量 Q 的估计值,F,G 分别表示两个量
与 q 的测量函数。则 xi与 xj 的协方差为:
      ) ( ) , (
2
q u
q
G
q
F
x x u j i




=                            (34)
如果有多个变量使 xi与 xj 相关,则:
    xi=F(q1, q2,…, qL) 
    xj =G(q1, q2,…, qL)
协方差为:
         å =




=
L
k
k
k k
j i
q u
q
G
q
F
x x u
1
2
) ( ) , (                         (35)
注:例如在得到两个输入量的估计值 xi和 xj时,是使用了同一个测量标
准、测量仪器或参考数据或采用了相同的具有相当大不确定度的测量方
法,则 xi和 xj两个量均因与同一个量有关而相关。
5.4.4.2 相关系数的估计方法
5.4.4.2.1 根据对 x 和 y 两个量同时测量的 n 组测量数据,相关系数的估
计值按下式计算:
           1
( ) ()
( ,)
( 1) ( ) ()
n
ii
i
x X yY
rxy
n s x sy
=
--
=
-
å
                   (36)
   式中,s(x),s(y)分别为 X 和 Y 的实验标准偏差。
5.4.4.2.○ 2  如果两个输入量 xi和 xj相关,xi变化di会使 xj相应变化dj,
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-   -  42
则 xi和 xj的相关系数可用以下经验公式近似估计:
         
()
( ,)
()
ij
ij
ji
ux
r xx
ux
d
d
»                           (37)
  式中,u(xi)和 u(xj)分别为 xi和 xj的标准不确定度。
5.4.4.3 采用适当方法去除相关性
1)将引起相关的量作为独立的附加输入量进入测量模型。
例如,在确定被测量 Y 时,用某一温度计来确定输入量 Xi估计值的温
度修正值 xi,并用同一温度计来确定另一个输入量 Xj估计值的温度修正
值xj, 这两个温度修正值xi和xj就明显相关了。 即, 由于xi=F(T), xj=G(T),
也就是说 xi和 xj都与温度有关,由于用同一个温度计测量,如果该温度
计示值偏大,两者的修正值同时受影响,所以 y=f(xi, xj)中两个输入量
xi和 xj是相关的。然而,只要在测量模型中把温度 T 作为独立的附加输
入量,即 y=f(xi, xj,, T),该附加输入量具有与上述两个量不相关的标
准不确定度。则在计算合成标准不确定度时就不须再引入 xi与 xj 的协方
差或相关系数了。
    2)采取有效措施变换输入量
    例如,在量块校准中校准值的不确定度分量中包括标准量块的温度
qs及被校量块的温度q 两个输入量,即 L=f(qs, q,… )。由于两个量块
处在实验室的同一测量装置上,温度qs 与q 是相关的。但只要将q 变换
成q=qs+dq,这样就把被校量块与标准量块的温度差dq与标准量块的温度
qs作为两个输入量时,这两个输入量间就不相关了,即 L=f(qs,  dq ,… )
中qs与dq 不相关。
5.4.5 合成标准不确定度的有效自由度
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-   -  43
5.4.5.1 合成标准不确定度 uc(y)的自由度称为有效自由度,用符号neff
表示。它说明了评定的 uc(y)的可靠程度,neff越大,评定的 uc(y)越可靠。
在以下情况时需要计算有效自由度neff:
  1)当需要评定 UP时为求得 kP而必须计算 uc(y)的有效自由度neff ,
  2)当用户为了解所评定的不确定度的可靠程度而提出要求时。
5.4.5.2 当测量模型为线性函数时,合成标准不确定度的有效自由度由
下式计算: 
          
å =
= N
i i
i
c
eff
y u
y u
1
4
4
) (
) (
n
n
                           (38) 
且          å =
£
N
i
i eff
1
n n     
当合成标准不确定度为:
        å =
=
N
i
i i i c x x u P y y u
1
2
] / ) ( [ / ) (  时,
有效自由度可用相对标准不确定度的形式计算:
       
å =
= N
i i
i i i
c
eff
x x u P
y y u
1
4
4
] / ) ( [
] / ) ( [
n
n                              (39)
  实际计算中, 得到的有效自由度neff不一定是一个整数。如果不是整数,
可以采用将neff数字舍位到最接近的一个较低的整数。
  例如:若计算得到neff =12.65,则取neff =12。
 
注:有效自由度计算举例:
  设 Y=f(X1,X2,X3)=bX1X2X3,其中 X1,X2,X3的估计值 x1,x2,x3分别是 n1,
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n2,n3 次测量的算术平均值,n1=10,n2=5,n3=15。它们的相对标准不确
定度分别为:
u(x1)/x1=0.25%,u(x2)/x2=0.57%,u(x3)/ x3=0.82%。在这种情况下:
         % 03 . 1 ] / ) ( [ ] / ) ( [
) (
1
2
1
2
= = = å å = =
N
i
i i
N
i
i i i
c
x x u x x u P
y
y u
 
               0 . 19
1 15
82 . 0
1 5
57 . 0
1 10
25 . 0
03 . 1
4 4 4
4
=
-
+
-
+
-
= eff
n =19
5.4.6 合成标准不确定度的评定举例参见附录A.2。
5.5 扩展不确定度的确定 
5.5.1 扩展不确定度是被测量可能值包含区间的半宽度。 扩展不确定度分
为 U 和 UP两种。一般情况下,在给出测量结果时报告扩展不确定度 U。
5.5.2 扩展不确定度 U         
扩展不确定度 U 由合成标准不确定度 uc乘包含因子 k 得到:
          U=kuc                                  (40)   
测量结果可表示为:
            Y = y±U                               (41)
  y是被测量Y的估计值, 被测量Y的可能值以较高的包含概率落在[y-U,
y+U]区间内,即 y-U≤Y≤y+U。被测量的值落在包含区间内的包含概率取
决于所取的包含因子 k 的值, k 值一般取 2 或 3。
当 y 和 uc(y)所表征的概率分布近似为正态分布时, 且 uc(y)的有效自
由度较大情况下,若 k=2,则由 U =2uc所确定的区间具有的包含概率约
为 95%。若 k=3,则由 U =3uc所确定的区间具有的包含概率约为 99%。
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  在通常的测量中,一般取 k=2。当取其他值时,应说明其来源。当给出
扩展不确定度 U 时,一般应注明所取的 k 值。若未注明 k 值,则指 k=2。   
  注:应当注意,用常数 k 乘以 uc并不提供新的信息,仅仅是对不确定
度的另一种表示形式。在大多数情况下,由扩展不确定度所给出的包含
区间具有的包含概率是相当不确定的,不仅因为对用 y 和 uc(y)表征的概
率分布了解有限,而且因为 uc(y)本身具有不确定度。                
5.5.3 扩展不确定度 UP
当要求扩展不确定度所确定的区间具有接近于规定的包含概率 p 时,
扩展不确定度用符号 Up表示,当 p 为 0.95,0.99 时,分别表示为 U95和
U99。
Up由下式获得:
               Up = kp uc                            (42)
kP是包含概率为 p 时的包含因子。
                 kp = tp (neff)                       (43)
根据合成标准不确定度 uc(y)的有效自由度neff 和需要的包含概率查表
(见附录 B)得到 tp(neff)值,该值即包含概率为 p 时的包含因子 kp值。
扩展不确定度 Up = kp uc(y)提供了一个具有包含概率为 p 的区间 y±Up。
在给出 Up时,应同时给出包含概率 p 和有效自由度neff。
5.5.4 如果可以确定Y可能值的分布不是正态分布, 而是接近于其他某种
分布,则不应按 ) ( eff p p t k n = 计算 p U 。
例如,Y可能值近似为矩形分布,则包含因子 p k 与 p U 之间的关系如下: 对于 95 U , 65 . 1 = p k 
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-   -  46
对于 99 U , 71 . 1 = p k 
实际应用中,当合成分布接近均匀分布时,为了便于测量结果间进行比
较,往往约定取k为2。这种情况下给出扩展不确定度U时,包含概率远大
于0.95。
6.测量不确定度的报告与表示
6.1 完整的测量结果应报告被测量的估计值及其测量不确定度以及有关
的信息。报告应尽可能详细,以便使用者可以正确地利用测量结果。
6.2 通常在报告以下测量结果时,使用合成标准不确定度 ) ( y uc
,必要时
给出其有效自由度 eff
n :
a) 基础计量学研究;
b) 基本物理常量测量;
c) 复现国际单位制单位的国际比对(根据有关国际规定,亦可能采
用k=2的扩展不确定度)。
6.3 除上述规定或有关各方约定采用合成标准不确定度外, 通常在报告测
量结果时都用扩展不确定度表示。
当涉及工业、商业及健康和安全方面的测量时,如果没有特殊要求,一
律报告扩展不确定度 U,一般取 k=2。
6.4 测量不确定度分析报告一般包括以下内容:
a) 被测量的测量模型;
b) 不确定度来源;
c) 输入量的标准不确定度分量 ) ( i
x u 的值及其评定方法和评定过程;
d) 灵敏系数 i
c =
i
x
f


及输出量的标准不确定度分量 ) ( ) ( i i i
x u c y u = ;
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-   -  47
e)必要时,给出个分量的自由度 i
n ;
f) 对所有相关的输入量给出其协方差或相关系数r:
g) 合成标准不确定度uc,必要时给出有效自由度neff;
h) 扩展不确定度U或UP及其确定方法;
i)报告测量结果,包括被测量的估计值及其测量不确定度。
通常测量不确定度分析报告除文字说明外,将上述主要内容列成表格。
6.5  当用合成标准不确定度报告测量结果时,应:
a) 明确说明被测量Y的定义;
b) 给出被测量Y的估计值y、合成标准不确定度 ) ( y uc
及其单位,必
要时给出有效自由度 eff
n 。
c) 必要时也可给出相对标准不确定度 ) ( y ucrel

6.5.1 合成标准不确定度 ) ( y uc
的报告可用以下形式之一,
例如,标准砝码的质量为 s
m ,测量结果为100.02147g,合成标准不确定
度 mg m u s c
35 . 0 ) ( = ,则报告为:
a)  g ms
02147 . 100 = ;合成标准不确定度 mg m u s c
35 . 0 ) ( = 。
b)  g ms
) 35 ( 02147 . 100 = ;括号内的数是合成标准不确定度的值,其末
位与前面结果内末位数对齐。
c)  g ms
) 00035 . 0 ( 02147 . 100 = ;括号内是合成标准不确定度的值,与前
面结果有相同计量单位。
形式b) 常用于公布常数、常量。
6.6 当用扩展不确定度U 或 p U 报告测量结果的不确定度时,应:
a) 明确说明被测量Y的定义;
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-   -  48
b) 给出被测量Y的估计值y,扩展不确定度U 或 p U 及其单位;
c) 必要时也可给出相对扩展不确定度 rel
U ;
d) 对U 应给出k值,对 P U 应给出p和 eff
n 。
6.6.1  ) ( y ku U c
= 的报告可用以下种形式之一,
例如, mg 35 . 0 ) ( = y uc
取包含因子 2 = k , mg 70 . 0 mg 35 . 0 2 = ´ = U ,则报告为:
a)  g 02147 . 100 = s
m , 2 mg 70 . 0 = = k U ; 。
b)  2 ) 00070 . 0 02147 . 100 ( = ± = k g ms
; 。
c)  ; g ms
) 70 ( 02147 . 100 = ,括号内为k=2的U值, 其末位与前面结果内末位
数对齐。
6.6.2  ) ( y u k U c p p = 的报告可用以下形式之一,
例如 mg 35 . 0 ) ( = y uc
, 9 = eff
n ,按 % 95 = P ,查附录A得 26 . 2 ) 9 ( 95 = = t k p ,
mg 79 . 0 mg 35 . 0 26 . 2 95 = ´ = U ,则
a)  g 02147 . 100 = s
m , 9 mg 70 . 0 95 = = eff
U n ; 。
b)  g ) 00079 . 0 02147 . 100 ( ± = s
m , 9 = eff
n ,括号内第二项为 95 U 之值。
c)  g ) 79 ( 02147 . 100 = s
m , 9 = eff
n ,括号内为 95 U 之值,其末位与前面结
果内末位数对齐。
d)  g ) 00079 . 0 ( 02147 . 100 = s
m , 9 = eff
n ,括号内为 95 U 之值,与前面结果
有相同计量单位。
注:当给出扩展不确定度 p U 时,为了明确起见,推荐以下说明方式,例
如: g ms
) 00079 . 0 02147 . 100 ( ± = ,式中,正负号后的值为扩展不确定度
c
u k U 95 95 = ,,其中,合成标准不确定度 g m u s c
35 . 0 ) ( = ,自由度 9 = n ,包含
因子 26 . 2 ) 9 ( 95 = = t k p ,从而具有包含概率约为95%的包含区间。
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-   -  49
6.7  报告不确定度时的其他要求:
6.7.1 相对不确定度的表示可以加下标 rel 或 r。例如:相对合成标准不
确定度 ur或 urel;相对扩展不确定度 Ur或 Urel。但在不致引起混淆的情况
下,相对不确定度也可不加下标。例如用 U = 1%表示“相对扩展不确定
度为 1%” 。测量结果的相对不确定度 rel
U 或 rel
u 的报告形式举例如下:
a)  g ) 10 9 . 7 1 ( 02147 . 100 6 -
´ ± = s
m ,k=2,式中正负号后的数为Urel的值。
b)  g ms
02147 . 100 = ; 6
95 10 9 . 7 -
´ = rel
U 。
注:在用户对合成标准不确定度与扩展不确定度这些术语还不太熟悉的
情况下,必要时在技术报告或科技文章中报告测量结果的不确定度时可
作如下说明: “合成标准不确定度(标准差)uc”, “扩展不确定度(二倍
标准差估计值)U” 。
6.7.2 测量不确定度表述和评定时应采用规定的符号,见附录 C。
6.7.3 不确定度单独用数值表示时,数值前不要加“±”号。
注:例如 uc=0.1mm 或 U=0.2mm(k=2) ,不应写成 uc=±0.1mm 或 U=±0.2mm
(k=2) 。
6.7.4 在给出合成标准不确定度时,不必说明包含因子 k 或包含概率 p。
注:例如写成 uc=0.1mm(k=1)是不对的,括号内关于 k 的说明是不需要
的,因为合成标准不确定度 uc是标准偏差,它是一个表明分散性的参数。 
6.7.5 扩展不确定度 U 取 k=2 或 k=3 时,不必说明 p。
6.7.5 不带形容词的“不确定度”或“测量不确定度”用于一般概念性的
叙述,当定量表示时应加适当的形容词,如:在评定过程的是“标准不
确定度分量”,当需要明确某一被测量估计值的不确定度时要明确说明是
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-   -  50
“合成标准不确定度”还是“扩展不确定度” 。
6.7.6 估计值y的数值和它的合成标准不确定度 ) ( y uc
或扩展不确定度U
的数值都不应该给出过多的位数。
6.7.6.1 通常最终报告的 ) ( y uc
和U 最多为两位有效数字。对于各标准不
确定度分量u(xi),为了在连续计算中避免修约误差导致不确定度而可以
适当保留多余的位数。
6.7.6.2 在报告最终结果时,一般采用修约规则将数据修约到需要的有
效数字。如U=28.05kHz经修约后写成28kHz。有时也可以将不确定度最末
位后面的数都进位而不是舍去。例如, W = m 47 . 10 U ,可以进位到 W m 11 。
注:修约规则参见GB/T 8170-2008《数值修约规则与极限数值的表示和
判定》。
6.7.6.3 被测量的估计值,在相同计量单位下,应修约到其末位与不确
定度的末位一致。
例如:如果 W = 05762 . 10 y ,其 W = m 27 U 。由于 W = 027 . 0 U ,则y应修约到
W 058 . 10 。
6.8 测量不确定度的应用
6.8.1 测量不确定度在合格评定中的应用见JJF1059.3。
6.8.2 校准证书中报告测量不确定度的要求
  1)在校准证书中,校准值或修正值的不确定度应针对每次校准时的实
际情况进行评定。
注 1;校准值的不确定度是与被测件有关的,不同被测件用同一计量标准
进行校准时,由于被测件的重复性和分辨力不同,其校准值的不确定度
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-   -  60
定度是各不确定度分量的代数和。如果不考虑 10 个电阻器的校准值的相
关性,而还用均方根法合成,得到结果为: W = = å =
032 . 0 ) ( ) (
10
1
2
i
i ref c R u R u ,这
是不正确的,明显使评定的不确定度偏小。
A.3  不同类型测量时测量不确定度评定举例
A.3.1 量块的校准
通过这个例子说明如何将各个影响量写进被测量的函数关系式中,
建立数学模型后不确定度的评定;并通过此例说明如何将相关的输入量
经过适当处理后使输入量间不相关,这样简化了合成标准不确定度的计
算。最后说明对于非线性测量函数考虑高阶项后测量不确定度的评定结
果。
1).校准方法
  标称值为 50mm 的被校量块,通过与相同长度的标准量块比较,由比较
仪上读出两个量块的长度差 d,被校量块长度的校准值 L 为标准量块长度
Ls与长度差 d 之和。即:  
 L=Ls+d
实测时,d 取 5 次读数的平均值d,d =0.000215mm,标准量块长度 Ls由校
准证书给出,其校准值 Ls=50.000623mm。
2.)测量模型
长度差 d 在考虑到影响量后为:d=L(1+aq )-Ls(1+asqs)
所以被校量的测量模型为:
       ] ) 1 ( [
1
1
d L L s s s + +
+
= q a
aq
 
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-   -  61
此模型为非线性函数,本规范的方法不适用于非线性函数的情况。为
此,要将此式按泰勒级数展开:
     L= L L + - + + ) ( q a q a s s s s
L d L 
忽略高次项后得到近似的线性函数: 
      ) ( q a q a - + + = s s s s L d L L                   (A3.1-1)
  式中:L—被校量块长度;
        Ls—标准量块在 20℃时的长度,由标准量块的校准证书给出;
        a —被校量块的热膨胀系数;
        as—标准量块的热膨胀系数;
        q —被校量块的温度与 20℃参考温度的差值;
        qs —标准量块的温度与 20℃参考温度的差值。
   在上述测量模型中,由于被校量块与标准量块处于同一温度环境中,
所以q与qs是相关的量;两个量块采用同样的材料,a与as也是相关的量。
为避免相关,设被校量块与标准量块的温度差为dq,dq= q-qs;他们的热
膨胀系数差为da,da= a-as;将qs = q-dq和a=da+as 代入式(A3.1-1),
由此,数学模型可改写成: 
         ) , , , , , ( q a d d q as s
d l f l = 
          =   ] [ q a d a q d s s s l d l + - +                   (A3.1-2)
   在此测量模型中输入量da与as以及dq与q不相关了。
特别要注意: 在此式中的da和dq是近似为零的, 但他们的不确定度不为零,
在不确定度评定中要考虑。由于da和dq是近似为零,所以被测量的估计值
可以由下式得到:  
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-   -  62
       L=Ls+ d                                         (A3.1-3)
3).测量不确定度分析
 根据测量模型,
        ) , , , , , ( q a d d q as s
d l f l =   
即:    l =  ] [ q a d a q d s s s l d l + - + 
由于各输入量间不相关,所以合成标准不确定度的计算公式为:
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
q d a d q a d d q a q a
u c u c u c u c d u c l u c l u s d s s c s
+ + + + + =    (A3.1-4)
式中灵敏系数为:
1 ) ( 1 1 = + - =


= = q a d a q d s
s
s
l
f
c c ,
0
1
3
2
= - =


= =
=


= =
q a d
a s
s
d
l
f
c c
d
f
c c
s
 
0 4 = - =


= = a q d
q s
l
f
c c 
q
da
da s
l
f
c c - =


= = 5 
s s
l
f
c c a
dq
dq
- =


= = 6 
由此可见,灵敏系数 c3和 c4为零,也就是说明as及q 的不确定度对测量
结果的不确定度没有影响。测量结果的合成标准不确定度公式可写成:
          ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
2 2 2 2 2 2 2 2
q a d a d q u l u l d u l u l u s s s s c + + + =              
(A3.1-5)
4).标准不确定度分量的评定
 ○ 1 标准量块的校准引入的标准不确定度 u(ls)
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-   -  63
   标准量块的校准证书给出:校准值为 l  =50.000623mm,U  =  0.075mm (k
=3),有效自由度为neff(ls)=18。
   则标准量块校准引入的标准不确定度为:
       u(Ls)=0.075/3=25nm , neff(Ls)=18
 ○ 2 测得的长度差引入的不确定度 u(d)
   a. 用对两个量块的长度差进行 25 次独立重复观测,用贝塞尔公式计
算的实验标准偏差为 s(d)=13nm;本次比较时仅测 5 次,取 5 次测量的算
术平均值为被校量块的长度,所以读数观测的重复性引入的标准不确定
度 u(d )是平均值的实验标准偏差为 s(d )
         8 . 5 5 / 13 / ) ( ) ( ) ( = = = = n d s d s d u nm
     由于 s(d)是通过 25 次测量得到,所以 u(d )的自由度n1=25-1=24。
b. 由比较仪的随机影响引起长度差测量的不确定度:由比较仪的校准
证书给出由随机影响引入的标准不确定度为 0.01mm,其置信的水平为
95%,是根据 6 次测量用 t 因子 t95=2. 57 得到。因此标准不确定度为:
     u(d1)=0.01mm /2. 57=3.9 nm 
自由度n2=6-1=5
c. 由比较仪的系统影响引起长度差测量的不确定度:在校准证书上给
出系统影响引起的比较仪的不确定度按三倍标准偏差计为 0.02mm,所以
由此引入的标准不确定度为:
     u(d2)=0.02mm /3=6.7 nm 
则按下式估计其自由度: 
2
) (
) (
2
1
-
ú
û
ù
ê
ë
éD
»
i
i
i
x u
x u

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-   -  64
假设 u(d2)的不可靠程度 ú
û
ù
ê
ë
éD
) (
) (
2
2
d u
d u
达 25%,计算得到n3=8
   d. 由以上分析得到长度差引入的标准不确定度分量 u(d)为:
         7 . 9 93 ) ( ) ( ) ( ) ( 2
2
1
2 2
= = + + = d u d u d u d u nm
     自由度neff(d)为:
         6 . 25
8
) 7 . 6 (
5
) 9 . 3 (
24
) 8 . 5 (
) 7 . 9 (
) ( ) ( ) (
) (
) (
4 4 4
4
3
2
4
2
1
4
1
4
4
=
+ +
=
+ +
=
n n n
n
d u d u d u
d u
d eff
=25
○ 3 膨胀系数差值引入的标准不确定度 u(da)
估计两个量块的膨胀系数之差在±1×10
-6
℃-1
区间内,假设在区间内为
均匀分布,则标准不确定度为:
      u(da)=1×10-6
℃-1
/ 3 =0.58×10-6
℃-1
自由度:估计 u(da)的不可靠程度 ú
û
ù
ê
ë
éD
) (
) (
a
a
d
d
u
u
为 10%,计算得到
n(da)= 50 %) 10 (
2
1 2
= -
 
○ 4 量块温度差引入的标准不确定度 u(dq)
   希望被校量块与标准量块处于同一温度,但实际存在温度差异,温度
差估计以等概率落在±0.05℃区间内,则标准不确定度为:
      u(dq)=0.05/ 3 =0.029℃
估计 u(dq)只有 50%的可靠性,计算得到自由度为:
    n(dq)= 2 %) 50 (
2
1 2
= -
 
5)计算合成标准不确定度
  ○ 1 计算灵敏系数
   由标准量块的校准证书得到 Ls=50.000623mm,被校量块与参考温
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度 20℃之差估计为-0. 1℃,标准量块的热膨胀系数as 为
11.5×10
-6
℃-1
,由这些信息计算得到:
    c1=1,
c2=1,
c3=0,
c4=0,
c5=-lsq = -50.000623mm×(-0.1℃)=-5.0000623mm℃,
c6=-lsas= -50.000623mm×11.5×10
-6
℃-1
=-5.75×10
-4
mm℃-1
 
      ○ 2 计算合成标准不确定度
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) (
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
6
2 2
5
2 2
2
2 2
1
q a
q a
d a d q
d d
u l u l d u l u
u c u c d u c l u c l u
s s s s
s c
+ + + =
+ + + =
 
            =32nm
       ○ 3 u(l )的自由度:
          neff(l)= 7 . 16
2
) 6 . 16 (
50
) 9 . 2 (
6 . 25
) 7 . 9 (
18
) 25 (
) 32 (
4 4 4 4
4
=
+ + +
 
          取neff(L)=16
6)确定扩展不确定度
要求包含概率 P 为 0.99,由neff(l)=16,查表得:
t0.99(16)=2.92,取 k99= t0.99(16)=2.92,
扩展不确定度 U99= k99uc(L)= 2.92,×32nm=93nm。
7)校准结果:
     l =ls+d =50.000623mm+ 0.000215mm =50.000838mm
       U 99= 93nm (k=2.92,neff=16) 
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      或 l =(50.000838±0.000093)mm
         其中±号后的值是扩展不确定度 U,由 uc=32nm 乘包含因子
k=2.92 得到, k 是由自由度n=16, 包含概率 p=0.99 时查 t 分布值表得到,
由该扩展不确定度所包含的区间具有包含概率为 0.99。
 
量块校准时标准不确定度分量综合表
标准
不确
定度
分量
不确定

来源
u(xi)的值  灵敏系数 ci=
i
x
f


  ui(l)= ) ( i i
x u c 
/nm



ni
u(Ls)  标准量
块 的 校

25nm  1  25  18
u(d)  量 块 长
度差
9.7nm  1  9.7  25
u(da)  量 块 膨
胀 系数

0.58×10-6
℃-1
  5.0000623mm℃  2.9  50
u(dq)  量 块 温
度差
0.029℃  -5.75×10
-4
mm℃-1
  16.6  2
uc(l)=32nm
l =50.000838mm
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U99(l)= 93nm (k =2.92,neff =16,P =0.99)
或相对扩展不确定度 U99/l=1.9×10
-6
可见,不确定度的主要分量显然是标准量块的不确定度 u(ls)= 25nm。
 
8)考虑二阶项时不确定度的评定
   前面所进行的不确定度的评定是不完全的,实际上在本案例中,测量
模型存在着明显的非线性,在泰勒级数展开中的高阶项不可忽略。在合
成标准不确定度评定中, 有两项明显的不可忽略的二阶项对uc(l)有贡献: 
         ) ( ) ( ) ( ) (
2 2 2 2 2 2
q a d a q d u u l u u l s s s

    ) ( ) (
2 2 2
q da u u ls
=(0.05m)×(0.58 ×10-6
℃-1
) ×(0.41℃)=11.7nm
    ) ( ) (
2 2 2
q d a u u l s s
=(0.05m)×(1.2 ×10-6
℃-1
) ×(0.029℃)=1.7nm
考虑二阶项后的合成标准不确定度:u

c(l)= 2 2 2
7 . 1 7 . 11 32 + + =34nm
    扩展不确定度 U99(l)= 99nm (k =2.92,neff =16,P =0.99)
    或相对扩展不确定度U99/l=2.0×10-6
 
A.3.2 温度计的校准
这个例子说明用最小二乘法获得线性校准曲线时,如何用校准曲线的
截距、斜率和他们的估计方差与协方差,计算由校准曲线获得的预期修
正值及其标准不确定度。
A.3.2.1 测量问题
温度计是用与已知的参考温度相比较的方法校准的。 相应的已知参考温
度为 tR,k,其温度范围为 21℃到 27℃。进行了 n=11 次读数,温度计的温
度读数为 tk,每次读数的不确定度可忽略,温度计读数的修正值为
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-   -  68
bk=tR,k-tk。根据测得的修正值 bk和测得的温度 tk,用最小二乘法拟合成
直线得到温度计修正值的线性校准曲线 b(t)为:
            b(t)=y1+y2(t-t0)                           
(A3.2-1)
式中, y1为校准曲线的截距,
       y2为校准曲线的斜率, 
 t0是所选择的参考温度; 
y1和 y2是两个待测定的输出量。一旦找到 y1和 y2以及它们的方差和协
方差,式(A3.2-1)可用于预示温度计对任意一个温度值 t 的修正值和修
正值的标准不确定度。
              b(t)
                 bk               。
                               。
                      。
       y1
                                              t               
                                           t0   tk  30℃
                     图 A3.2.1 最小二乘法拟合的示意图
A.3.2.2 最小二乘法拟合
根据最小二乘法和 A3.2.1 的假设条件,输出量 y1和 y2及它们的估计方
差和协方差是在下式之和为最小时得到:
             2
1 20
1
[ ( )]
n
kk
k
s b y y tt
=
= - -- å                    
拟合的校准曲线
测量数据
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这就导出了 y1和 y2的以下各公式,它们的实验方差 s
2
(y1)和 s
2
(y2),以及
它们的估计的相关系数 r(y1,y2)=s(y1,y2)/ s(y1) s(y2),其中 s(y1,y2)是
估计的协方差
            ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
k k k kk
bb
y
D
q qq -
=
å å åå                   (A3.2-2a) 
            ( ) ( )
D
b b n
y
k k k k å å å -
=
q q
2
                     (A3.2-2b)
            
22
2
1 ()
k
s
sy
D
q
= å                            (A3.2-2c)
            
2
2
2 ()
s
s yn
D
=                               (A3.2-2d)
             r(y1,y2)=
2
k
k
n
q
q
- å
å
         
(A3.2-2e)
            
2
2
[ ( )]
2
kk
b bt
s
n
-
=
-
å                          (A3.2-2f)
              å å - = 2 2
) ( k k n D q q                      
               = å å - = - 2 2
) ( ) ( t t n n k k q q                  (A3.2-2g)
式中,k=1,2,…,n;
      qk=tk-t0;
       n k / ) (å = q q ;
       n t t k / ) (å = ;
     [bk-b(tk)]是在 tk 温度时测得或观测到的修正值 bk 与拟合曲线
b(t)=y1+y2(t-t0)上在 tk时预示的修正值 b(tk)之间的差值; 
      估计方差 s
2
是总的拟合的不确定度的度量;其中因子 n-2 反映了
由 n 次观测确定二个参数 y1和 y2时,s2
的自由度为n=n-2。
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-   -  70
A.3.2.3 结果的计算
被拟合的数据在表 A3.2-1 的第二列和第三列中给出, 取 t0=20℃作为参
考温度,应用式(A3.2-2a)到(A3.2 -2g)得到:
y1=-0.1712℃        s(y1)=0.0029℃
       y2=0.00218          s(y2)=0.00067
       r(y1,y2)=-0.930      s=0.0035℃
斜率 y2比其标准不确定度大三倍,表明要用校准曲线而不是用一个固定
的平均修正值进行修正。修正值的校准曲线可以写成 2
       b(t)=-0.1712(29)℃+0.00218(67)(t-20℃)         
(A3.2-3)
其中括号内的数字是标准不确定度的数值,与所说明的截距和斜率值的
最后位数字相对齐。
式(A3.2-3)给出了在任意温度 t 时修正值 b(t)的预示值,在 t=tk时的修
正值为 b(tk)。这些值在表 A3.2-1 的第四列中给出,而最后一行给出了
测得值和预示值之间的差 bk - b(tk)。对这些差值的分析可以用于核查线
性模型的有效性。
 
表 A3.2 -1  用最小二乘法得到温度计线性校准曲线时所用的数据
读数的次号
k
温度计的读
数 tk  /℃
观测的修正

bk=tR,k -tk 
/℃
预示的修正

b(tk)  /℃
观测的与预
示的修正值
之差
bk - b(tk) 
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-   -  71
/℃
1  21.521  -0.171  -0.1679  -0.0031
2  22.012  -0.169  -0.1668  -0.0022
3  22.512  -0.166  -0.1657  -0.0003
4  23.003  -0.159  -0.1646  +0.0056
5  23.507  -0.164  -0.1635  -0.0005
6  23.999  -0.165  -0.1626  -0.0025
7  24.513  -0.156  -0.1614  +0.0054
8  25.002  -0.157  -0.1603  +0.0033
9  25.503  -0.159  -0.1592  +0.0002
10  26.010  -0.161  -0.1581  -0.0029
11  26.511  -0.160  -0.1570  -0.0030
 
A.3.2.4 预示值的不确定度
要求获得在 t=30℃时的温度计修正值和它的不确定度。
 1)t=30℃时的温度计修正值
温度计的校准范围为 21℃到 27℃, 所以 30℃这个温度是在温度计实
际校准温度的范围外。将 t=30℃代入式(A3.2  -3)中,得到修正值的预示
值:
          b(30℃)= -0.1494℃
2)修正值的预示值的合成标准不确定度
由于数学模型为: b(t)=y1+y2(t-t0) , 根据不确定度的传播律通用公式: 
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-   -  72
1
2 22
1 11
( ) ( ) 2 ( ( ,)
N NN
c i i i j i j ij
i i ji
u y c u x c c u x )u(x )r xx
-
= = =+
=+ å åå 
将 b(t)=y,b(t)=f(y1,y2),u(y1)=s(y1),u(y2)=s(y2) 代入,并求得
灵敏系数后, 
  得到:  ) , ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )] ( [ 2 1 2 1 0 2
2 2
0 1
2 2
y y r y u y u t t y u t t y u t b uc - + - + =       (A3.2-4)
  将数据代入(A3.2 -4)得到 t=30℃时的温度计修正值的合成方差:
      u
2
c[b(30℃)]=(0.0029℃)
2
+ (30℃-20℃)
2
(0.00067)
2
+2(30℃-20℃) (0.0029℃)(0.00067)(-0.930)
=17.1×10
-6
 ℃2
 
  则合成标准不确定度:uc[b(30℃)]=0.0041℃
   自由度n = n-2=11-2=9。
3)因此,在 30℃时的修正值是-0.1494℃,其合成标准不确定度
uc=0.0041℃,自由度n =9。
 
A.3.3 硬度计量: 
  硬度是一个必须以一种测量方法为参考才能被量化的物理量;它
没有独立于某个方法的计量单位。”硬度”这个量与经典的可测的量不
同,它不能用可测的其他量的函数关系式去定义,虽然有时用经验公式
来说明硬度与一类材料的其他特性的关系。硬度量的大小通常用测量某
样块的压痕的线性尺寸来确定,这种测量是根据标准文本进行的,文本
包括了对压头的描述,加压头用的机械设备的结构和规定的操作设备的
方法,标准文本不止一个,所以硬度的测量方法也不止一个。
  硬度被报告为测得的线性尺寸的函数 (取决于测量方法) 。 在本案例中,
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硬度是 5 次重复的压痕深度的算术平均值的线性函数。但在有些其他测
量方法中可能是非线性函数。
  复现量值的标准装置作为国家计量标准保存;某个测量装置与国家计
量标准装置之间的比对是通过传递标准块进行的。
A.3.3.1 测量问题
在本例中,材料样块的硬度是用洛氏即“Rockwell C”法确定的,所用
的测量装置是由国家计量标准装置校准过的。洛氏硬度的测量单位是
0.002mm,由 100×(0.002mm)减去 5 次观测的以 mm 为单位的测得的压痕
深度的平均值为洛氏硬度,简称“硬度” 。这个量值除以洛氏测量单位
0.002mm, 所得值被称为 “HRC 硬度指数” 。 在本例中, 硬度量用符号 hRockwell
C表示;用洛氏单位长度表示的硬度指数用符号 HRockwell C表示。
A.3.3.2 测量模型
  用测定硬度的设备(以下称校准装置)在样块上造成的压痕深度的平
均值必须加修正值,修正到由国家计量标准装置在同一样块上造成的压
痕深度的平均值,因此硬度和硬度指数分别可由下式表示:
     hRockwell C =f ( d ,Dc,Db,Ds)  =100(0.002mm) - d -Dc-Db-Ds        
(A3.3-1)
     HRockwell  C  =  hRockwell C  /(0.002mm)         
(A3.3-2)
式中 d  是由校准装置在样块上 5 次压痕深度的平均值;
     Dc 是用一个传递标准对校准装置和国家计准装置进行比较得到的
修正值,等于用国家计量标准装置在此样块上的 5 次压痕深度的平均值
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减去由校准装置在同一样块上的 5 次压痕深度的平均值获得的差值。
     Db  是用两台硬度装置分别测量传递标准的两部分所得的硬度差 (表
示为压痕平均深度的差),假设为零。
     Ds  包括由于国家计量标准装置以及硬度量定义不完全引起的误差,
虽然Ds必定假设为零,但它具有标准不确定度 u(Ds)。
A.3.3.3 硬度测量的合成方差
 由于式(A3.3-1)的函数的偏导数¶f/¶d, ¶f/¶Dc,¶f/¶Db,¶f/¶Ds均等
于-1,
由校准装置测得的样块的硬度的合成方差 u c
2
 (h)为:
            uc
2
(h)=u2
( d )+u2
(Dc)+ u2
(Db)+ u2
(Ds)         
(A3.3-3)
注:式中 h 简略了下标,h ºhRockwell C。
A.3.3.4 标准不确定度分量的评定
A.3.3.4.1 样块压痕深度平均值d的标准不确定度,u(d )
1)样块压痕深度测量重复性引入的标准不确定度:每次测量所得的值
不可能严格重复,因为新的压痕不可能在前一个压痕的位置上的。由于
每个压痕必须在不同的位置上,结果的任何变化包括了不同位置间硬度
变化的影响。因此,用校准装置在同一样块上的 5 次压痕深度的平均值
的标准不确定度 u(d )是取 sP(dk)/ 5,其中 sP(dk)是对已知具有非常均匀
硬度的样块“重复”测量确定的压痕深度的合并实验标准偏差。
2)显示器分辨力引入的标准不确定度:由于校准装置显示器的分辨力d
引起深度指示的不确定度,显示器的分辨力d 引入的估计方差为:
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u
2
(d)=d
2
/12。
  因此,d的估计方差:
              u
2
(d )= 2
P s (dk) / 5 + 2
d /12                   (A3.3-4)
A.3.3.4.2 修正值的标准不确定度,u(Dc)
Dc是将校准装置与国家计量标准装置进行比较得到的修正值, 这个修正
值可以表示成    -
cs
zz ¢¢ D= ,其中 ,
1
( )/
m
si
s
i
z zm
=
¢ = å 是国家计量标准装置对传递标
准块 m 次压痕的平均深度; 1
( )/
n
i
i
z zn
=
¢ = å 是用校准装置对同一样块进行 n 次
压痕的平均深度;因此,为了便于比较,假设每个装置由于显示分辨力
引起的不确定度可以忽略,则Dc的估计方差为
             
n
z s
m
z s
Δ u av s av
c
) ( ) (
) (
2 2
2
+ =                  (A3.3-5)
式中  m z s z s
m
i
i s s av / ] ) ( [ ) (
1
,
2 2
å=
= 是由国家计量标准装置进行的每个 5m 列压痕
zs,ik的平均值的实验方差的平均值;
      n z s z s
n
i
i av / ] ) ( [ ) (
1
2 2
å=
= 是由校准装置进行的每个 5n 列压痕 zik的平均值
的实验方差的平均值。
注:方差 ) (
2
s av z s 和 ) (
2
z sav 都是合并方差的估计值。
A.3.3.4.3 对传递标准块硬度变化进行修正的不确定度,u(Db)
OIML(国际法制计量组织)的国际建议书 R12:“Rochwell C 硬度标准
块的校准和验证”要求由传递标准块 5 次测量得到的最大和最小压痕深
度之差不大于平均压痕的百分之 x,其中 x 是硬度等级的函数。所以,设
在整个样块内压痕深度的最大差为x z¢, (其中z¢已在上节中定义), 其n=5。
设在此±x z¢为边界的区间内的概率分布为三角分布 (可假设在接近中心
值附近的值的概率远大于两端的概率)。则区间半宽度 a= x z¢/2, 6 = k ,
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由校准装置和国家计量标准装置分别测得的硬度差获得的平均压痕深度
的修正值的估计方差按 B 类评定为:
            24 / ) ( ) 6 2 /( ) ( ) (
2 2 2 2
z x z x Δ u b
¢ = ¢ =           (A3.3-6)                
可以假设修正值Db的最佳估计值本身为零。
A.3.3.4.4 国家计量标准装置和硬度定义引起的标准不确定度,u(Ds)
国家计量标准装置的不确定度和由于硬度量定义不完全引起的不确定
度一起用估计标准偏差 u(Ds)报告。
A.3.3.5 合成标准不确定度
将各项不确定度分量代入式(A2-6)中,得到硬度测量的估计方差
    ) (
24
) ( ) ( ) (
12 5
) (
) (
2
2 2 2 2 2
2
s
av s av k
c u
z x
n
z s
m
z s d s
h u D +
¢
+ + + + =
d
      (A3.3-7)
uc(h)就是硬度的合成标准不确定度。
A.3.3.6 数字举例
1)用洛氏 C 测量法测定样块硬度的数据见表 A3.3.1
 
表 A3.3.1 用洛氏 C 测量法测定样块硬度的数据一览表
不确定度来源  值
用校准装置在样块上进行 5 次压痕
的平均深度d:0.072mm
36.0 Rockwell 测量单位
由 5 次压痕所指示的样块的硬度指
数:
HRockwell C = hRockwell C /(0.002mm)=
[100(0.002mm)-0.072mm]/
64.0 HRC
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(0.002mm)
由校准装置在具有均匀硬度的样块
上压痕深度的合并实验标准偏差
sP(dk)
0.45 Rockwell 测量单位
校准装置显示的分辨力d  0.1 Rockwell 测量单位
传递标准块上由国家计量标准装置
进行 m 列压痕的平均值的实验方差
的平均值的平方根 () s av
sz 
0.10  Rockwell测量单位, m=6
传递标准块上由校准装置进行 n 列
压痕的平均值的实验方差的平均值
的平方根 ) (z sav 
0.11  Rockwell定标单位, n=6
在传递标准块上压透深度的允许变
化量 x
1.5×10-2
国家计量标准装置和硬度的定义引
入的标准不确定度 u(Ds)
0.5 Rockwell 测量单位
 
2)合成标准不确定度的计算
这种测量方法是 Rockwell C 法。  硬度指数的单位符号用 HRC 表示。  这
里“Rockwell 测量单位”是 0.002mm,因此在表 A3.3.1 和下文中,例如
“36.0  Rockwell 测量单位”意味着 36.0×(0.002mm)=0.072mm。
“Rockwell 测量单位”是表示数据和结果的简便方法。
将表 A3.3.1 中给出的有关量的值代入式(A3.3-7)中,就可得到硬度的
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合成方差:
   2 2
2 2 2 2 2
2
Rockwell ]( 5 . 0
24
) 0 . 36 015 . 0 (
6
11 . 0
6
10 . 0
12
1 . 0
5
45 . 0
[ ) ( 单位) +
´
+ + + + = h uc 
       =0.307(Rockwell 测量单位)
 2
 
所以硬度测量的合成标准不确定度为:
   uc(h)=0.55 Rockwell 测量单位
       =0.0011mm
3)测量结果
样块的硬度:
由于 d z = ¢ =36.0 Rockwell 测量单位。假设Dc=0,Db=0,Ds=0,则:
         hRockwell C=64.0 Rockwell 测量单位 = 0.1280mm
   其合成标准不确定度 uc=0.55 Rockwell 测量单位= 0.0011mm
样块的硬度指数为: hRockwell C /(0.002mm)=(0.128mm)/ (0.002mm)
  或     HRockwell C=64.0HRC
其合成标准不确定度为   uc=0.55 HRC
4)分析:
由表 A3.3.1 可见,对测量结果的测量不确定度起主要作用的分量,除
了由于国家计量标准装置和硬度定义引起的标准不确定度分量
u(Ds)=0.5 Rockwell 测量单位外,其他较明显的标准不确定度分量是测
量重复性引起的标准不确定度: 2
P s (dk) / 5 =0.20 Rockwell 测量单位和
传递标准块的硬度变化引入的标准不确定度 2 / ) (
2
z x ¢ 4=0.11Rockwell 测量
单位。
 
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A3.4 样品中所含氢氧化钾的质量分数测定
  本例是测量不确定度在化学测量中的应用,在数学模型中各输入量间
是相乘的关系,可以采用相对标准不确定度计算合成标准不确定度。
A3.4.1 测量方法
  用盐酸(HCl)作为标准滴定溶液在滴定管中测定某样品中所含氢氧化
钾(KOH)的质量分数。
A3.4.2 有关信息
  1)在滴定中达到中和,滴定终点(化学计量点前或后)消耗标准溶液
50ml。
  2) 标准滴定溶液的物质的量浓度及其扩展不确定度为c(HCl)=0.2(1
±1×10-3
)mol/L,(k=2)
  3)所用滴定管为B级,其最大允许误差为±0.6%。
 
  4) 氢氧化钾的相对分子质量M(KOH)与三种元素的相对原子质量Ar有关,
由下式计算:
              M(KOH)= Ar (K)+ Ar (O)+ Ar (H)                
(A3.4-1)
   查1993年国际上公布的元素相对原子质量表,得到:
     Ar (K)=39. 098 3(1),  Ar (O)=15. 994(3),  Ar (H)=1. 007 94(7)
   括号中的数是原子质量的标准不确定度,其数字与原子质量的末位一
致,
   例如Ar (K)=39. 098 3(1),即u[Ar (K)]=0.0001,表中的不确定度都取
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一位有效数字。
   将数据代入(A3.4-1)式,得到氢氧化钾的相对分子质量M(KOH):
      M(KOH)= 39. 098 3+15. 994+1. 007 94=56. 100 24
  5)样品的质量用由砝码和天平组成的称重设备测量得到,测量结果为
10g。称重设备的不确定度为Ur=3×10
-4
(k=3)。
A3.4.3 测量模型
  被测量是样品中所含氢氧化钾的质量分数,用符号ω(KOH)表示,其测
量模型为:
      ω(KOH)=f[V(HCl),c(HCl), M(KOH),m]
              =
m
M c V ) KOH ( ) HCl ( ) HCl ( ´ ´
                (A3.4-2)
A3.4.4 合成标准不确定度的计算公式
  由于被测量的数学模型中各输入量是相乘的关系,函数关系符合以下
形式:
        P
N
P P
X X X Y × × × × × = 2 1 
  合成标准不确定度可以表示为:
       å =
=
N
i i
i i c
x
x u P
y
y u
1
2
]
) (
[
) (
                              (A3.4-3)
  用相对标准不确定度表示:
       å =
=
N
i
i r i r
x u P y u
1
2
)] ( [ ) (                               (A3.4-4)
ω(KOH)的相对合成标准不确定度为:
  ] [ )] KOH ( [ )] HCl ( [ )] HCl ( [ )] ( [
2 2 2 2
m u M u c u V u KOH u r r r r cr
+ + + = w    (A3.4-5)
由此可见,不确定度的主要来源为: 消耗标准溶液的体积测不准,标准
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盐酸溶液浓度及氢氧化钾的相对分子质量不准和样品的质量测量不准。
A3.4.5 评定标准不确定度分量
1)  消耗标准溶液的体积测量引入的标准不确定度ur[V(HCl)]:
消耗标准溶液的体积是用滴定管测量的,滴定管的最大允许误差为
±0.6%,假设为等概率分布,取k= 3;则:
3
10 5 . 3 % 35 . 0 3 / % 6 . 0 / )] HCl ( [
-
´ = = = = k a V ur
 
2)  标准盐酸溶液浓度的标准不确定度ur[c(HCl)]:
从所给的信息知道,标准滴定溶液的物质的量浓度为:
c(HCl)=0.2(1±1×10-3
)mol/L  (k=2)
即盐酸溶液浓度c(HCl)=  0.2  mol/L,其相对扩展不确定度Ur=1×10-3
(k=2)
则盐酸溶液浓度的相对标准不确定度为:
ur[c(HCl)=1×10-3
/2=0.5×10-3
 
3)  氢氧化钾的相对分子质量的标准不确定度ur[M(KOH)]:
     由于M(KOH)= 39. 098 3+15. 994+1. 007 94=56. 100 24
) H ( [ ) O ( [ ) K ( [ )] KOH ( [
2 2 2
r r r
A u A u A u M u + + = 
查1993年国际公布的元素相对质量表得到:
     Ar (K)=39. 098 3(1),  Ar (O)=15. 994(3),  Ar (H)=1. 007 94(7)
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u[Ar (K)]=0.0001
u[Ar (O)]=0.003
u[Ar (H)]=0.000 07
003 . 0 00007 . 0 003 . 0 0001 . 0 )] KOH ( [
2 2 2
= + + = M u 
ur[M(KOH)]=0.003/56.10024=5.3×10
-5
 
  4)样品的质量测量不准引入的标准不确定度ur(m) :
     样品的质量用由砝码和天平组成的称重设备测量得到,测量结果为
10g。
     称重设备的不确定度为Ur=3×10-4 
(k=3)。 所以由质量测不准引入的
标准不确定度分量为:
       ur(m)= 3×10-4
/3=1×10-4
 
A3.4.6 计算合成标准不确定度
    ] [ )] KOH ( [ )] HCl ( [ )] HCl ( [ )] ( [
2 2 2 2
m u M u c u V u KOH u r r r r cr
+ + + = w 
               3 2 3 2 5 2 3 2 3
10 5 . 3 ) 10 1 . 0 ( ) 10 3 . 5 ( ) 10 5 . 0 ( ) 10 5 . 3 (
- - - - -
´ = ´ + ´ + ´ + ´ = 
由不确定度分析和评定看出,测定氢氧化钾质量分数的最主要的不确定
度来源在于消耗盐酸溶液的体积的测定误差。在实际工作中,可以采用
提高滴定管的准确度等级来减小测量不确定度。
A3.4.7 确定扩展不确定度
   为了测量结果间可以相互比较,按惯例在确定扩展不确定度时取包含
因子为2,
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   Ur=kuc=2×3.5×10
-3
=7×10
-3 
(k=2) 
A3.4.8 报告测量结果
   样品中所含氢氧化钾的质量分数:
      ω(KOH)=
m
M c V ) KOH ( ) HCl ( ) HCl ( ´ ´
 
            
g 10
g/mol 10 . 56 mol/L 2 . 0 ml 50 ´ ´

             =56.1×10
-3
=0.0561
      Ur=7×10
-3 
;U=0.0561×7×10
-3
=0.0004   (k=2)
所以测量结果可以报告为:ω(KOH)= 0.0561(4),(k=2)
括号内的数是扩展不确定度,与测量获得的最佳估计值的末位一致,包
含因子为2。
 
 
 
 
 
附录 B     
t分布在不同置信概率p与自由度n 时的 ) (n p t 值(t值)(补充件)
(%) p 
自由度n 
a
27 . 68   90  95  a
45 . 95   99  a
73 . 99 
1  1.84  6.31  12.71  13.97  63.66  235.80
2  1.32  2.92  4.30  4.53  9.92  19.21
3  1.20  2.35  3.18  3.31  5.84  9.22
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4  1.14  2.13  2.78  2.87  4.60  6.62
5  1.11  2.02  2.57  2.65  4.03  5.51
6  1.09  1.94  2.45  2.52  3.71  4.90
7  1.08  1.89  2.36  2.43  3.50  4.53
8  1.07  1.86  2.31  2.37  3.36  4.28
9  1.06  1.93  2.26  2.32  3.25  4.09
10  1.05  1.81  2.23  2.28  3.17  3.96
11  1.05  1.80  2.20  2.25  3.11  3.85
12  1.04  1.78  2.18  2.23  3.05  3.76
13  1.04  1.77  2.16  2.21  3.01  3.69
14  1.04  1.76  2.14  2.20  2.98  3.64
15  1.03  1.75  2.13  2.18  2.95  3.59
16  1.03  1.75  2.12  2.17  2.92  3.54
17  1.03  1.74  2.11  2.16  2.90  3.51
18  1.03  1.73  2.10  2.15  2.88  2.48
19  1.03  1.73  2.09  2.14  2.86  3.45
20  1.03  1.72  2.09  2.13  2.85  3.42
            
25  1.02  1.71  2.06  2.11  2.79  3.33
30  1.02  1.70  2.04  2.09  2.75  3.27
35  1.01  1.70  2.03  2.07  2.72  3.23
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-   -  85
40  1.01  1.68  2.02  2.06  2.70  3.20
45  1.01  1.68  2.01  2.06  2.69  3.18
            
50  1.01  1.68  2.01  2.05  2.68  3.16
100  1.005  1.66  1.984  2.025  2.626  3.077
¥  1.000  1.645  1.960  2.000  2.576  3.000
a:对期望m,总体标准偏差s 的正态分布描述某量z,当 3 2 1 , , = k 时,区
间 s m k ± 分别包含分布的68.27%, 95.45%,99.73%。
注:当自由度较小而又要求较高准确度时,非整数的自由度可按以下两
种方法之一,内插计算t值
1) 按非整n 内插求 ) (n p t 
 例:对 5 . 6 = n , 9973 . 0 = P  ,由 90 . 4 ) 6 ( = p t , 53 . 4 ) 7 ( = p t 
    得 72 . 4 ) 7 6 /( ) 7 5 . 6 )( 53 . 4 90 . 4 ( 53 . 4 ) 5 . 6 ( = - - - + = p t 
2) 按非整n 由 1 -
n 内插求 ) (n p t 
例:对 5 . 6 = n , 9973 . 0 = P  ,由 90 . 4 ) 6 ( = p t , 53 . 4 ) 7 ( = p t 
    得 72 . 4 ) 7 / 1 6 / 1 /( ) 7 / 1 5 . 6 / 1 )( 53 . 4 90 . 4 ( 53 . 4 ) 5 . 6 ( = - - - + = p t 
以上两种方法中,第二种方法更为准确。
 
 
 
 
 
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附录 C
有关量的符号汇总 (补充件 )
 
a         输入量Xi的可能值区间的半宽度;
+ a
       输入量Xi的上限;
- a
       输入量Xi的下限;
i
c
       灵敏系数, i i
x f c ¶ ¶ = /

f
       测量函数;
k         包含因子;
p k         包含概率为p 时的包含因子;
n          重复测量的次数;
N         标准不确定度分量的个数;
 p          概率;包含概率;
 p(x)      概率密度函数
) , ( j i
x x r   i
x 与 j
x 的相关系数估计值;
s(x)      单个测得值x的实验标准偏差;
) (x s       算术平均值x的实验标准偏差;
) (
2
x s     算术平均值x 的实验方差;
2
p s         合并方差的估计值;
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p s         合并实验标准偏差; 
) (n P t      t 因子;
) ( eff P t n   对于有效自由度 eff
n 以及与给定概率p相应的t 分布的t 值;
) (
2
i
x u    输入量 i
X 的估计值 i
x 的估计方差;
) ( i
x u     输入估计值 i
x 的标准不确定度;
ui       第i个标准不确定度分量;
uA      A类标准不确定度;
uB      B类标准不确定度;
uc      合成标准不确定度;
) , ( j i
x x u    i
x 与 j
x 的估计协方差;
) (
2
y u c
   输出估计值 y 的合成方差;
) ( y u c
   输出估计值 y 的合成标准不确定度;
) ( y u i
   由输入估计值 i
x 的标准不确定度 ) ( i
x u 产生的输出估计值 y 的
合成标准不确度 ) ( y u c
的分量,  ) ( ) ( i i i
x u c y u º ;
) , ( j i
y y u 在同一次测量中确定的输出估计值 i
y 与 j
y 的估计协方差;
i i
x x u / ) ( 输入估计值 i
x 的相对标准不确定度;
y y u c / ) ( 输出估计值 y 的相对合成标准不确定度;
r rel
u u ;   相对标准不确定度;
U         提供一个包含区间为 U y Y ± = 的输出估计值 y 的扩展不确
定度。它等于包含因子k 与 y 的合成标准不确定度 ) ( y u c

积:
) ( y ku U c

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p U       提供包含概率为p的包含区间 P U y Y ± = 的输出估计值 y 的扩
展不确定度, ) ( y u k U c p p = 。U95表示包含概率p为0.95时的
扩展不确定度;
r rel
U U ;    相对扩展不确定度 ;
pr prel
U U ;  包含概率为p的相对扩展不确定度;
i
x         输入量 i
X 的估计值;
i
X       与被测量Y 相联系的第i 个输入量;
i
X        i
X 的n 次独立重复观测值 k i
X ,
的算术平均值;
k i
X ,
    输入量 i
X 的第k 个独立测得值;
y        被测量Y 的估计值;输出估计值;
i
y        在同一次测量中,要确定两个或多个被测量时,被测量 i
Y 的估
计值;
Y        被测量;
d        分辨力;
q m       随机变量q 概率分布的期望或均值; 
n        自由度;
i
n       输入估计值 i
x 的标准不确定度 ) ( i
x u 的自由度;
eff
n     合成标准不确定度 ) ( y u c
的有效自由度;
[ ] ) ( q s s    平均值q 的实验标准偏差 ) ( q s 的标准偏差;
{ }
) (
) (
i
i
x u
x u s  标准不确定度 ) ( i
x u 的相对不确定度,用于评定B类标准不确定
度的自由度。
 
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附录 D
 
术语的英汉对照(参考件 )
 
a priori distribution,  先验分布
arithmetic mean (or average) 算术平均值
central limit theorem 中心极限定理
combined standard uncertainty 合成标准不确定度
coverage interval 包含区间
coverage pobability 包含概率
coverage factor 包含因子
correction 修正值
correlated imput estimates 相关的输入估计值
correlated output estimates 相关的输出估计值
correlation  相关
correlation coefficient 相关系数
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covariance  协方差
definitional uncertainty 定义的不确定度
degrees of freedom 自由度
effective degrees of freedom 有效自由度
empirical model    经验模型
experimental standard deviation 实验标准偏差
estimate        估计,估计值
expanded uncertainty    扩展不确定度
expectation    期望、期望值
independence    独立
input estimate    输入估计值
input quantity    输入量
instrumental measurement uncertainty 仪器的测量不确定度
Laplace-Gauss distribution 拉普拉斯一高斯分布
law of propagation of uncertainty 不确定度传播律
maximum permissible error 最大允许误差
measurand 被测量
measurement function 测量函数
measurement model 测量模型
measurement result 测量结果
measurement repeatability 测量重复性
measurement reproducibility 测量复现性
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measurement uncertainty 测量不确定度
normal distribution  正态分布
output estimate    输出估计值
output quantity    输出量
probability    概率
probability distribution  概率分布
random effect    随机影响
random variable     随机变量
relative standard uncertainty   相对标准不确定度
repeatability conditions    重复性条件
resolution 分辨力
sensitivity coefficient    灵敏系数
standard deviation   标准偏差
standard uncertainty 标准不确定度 
statistic control   统计控制
systematic effect   系统效应
target uncertainty 目标不确定度
t -factor        t 因子
t -distribution     t 分布
Type A evaluation of measurement uncertainty 测量不确定度的 A 类
评定
Type B evaluation of measurement uncertainty 测量不确定度的 B 类
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评定
Type A standard uncertainty      A类标准不确定度
Type B standard uncertainty      B类标准不确定度
uncertainty budget 不确定度报告
variance    方差
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